Question

Cho hàm số \(y=\left(2m^2-4m+7\right)x+3m^2-m-1\). Chứng minh hàm số luôn đồng biến R

Answer 1

Lời giải:

Xét \(x_1,x_2\in\mathbb{R}\), giả sử \(x_1< x_2\). Ta có:

\(f(x_1)-f(x_2)=(2m^2-2m+7)x_1+3m^2-m-1-[(2m^2-4m+7)x_2+3m^2-m-1]\)

\(\Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)=(2m^2-2m+7)(x_1-x_2)\)

Ta thấy \(2m^2-2m+7=m^2+(m-1)^2+6\geq 6>0\) với mọi \(m\in\mathbb{R}\), mà \(x_1< x_2\)

Do đó, \((2m^2-2m+7)(x_1-x_2)< 0\Leftrightarrow f(x_1)< f(x_2)\)

Như vậy, với \(x_1< x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\), do đó hàm số đồng biến trên R