Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a/b = b/c = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)

--> ((a + b + c)/(b + c + d))^3 = a^3/b^3

Cần chứng minh:

a^3/b^3 = a/d

<=> a^3/b^3 = a^3/(a^2.d)

--> b^3 = a^2.d

Mà ad = bc (do a/b = c/d)

--> b^3 = abc

<=> b^2 = ac (luôn đúng do a/b = b/c)

--> đpcm

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>a=bk; c=dk

\(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{bk}{bk+b}=\dfrac{k}{k+1}\)

\(\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{dk}{dk+d}=\dfrac{k}{k+1}\)

Do đó: a/a+b=c/c+d

Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}=k\)

=>\(a=ck;c=bk\)

=>\(a=bk\cdot k=bk^2;c=bk\)

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{\left(bk^2\right)^2+\left(bk\right)^2}{b^2+\left(bk\right)^2}\)

\(=\dfrac{b^2k^4+b^2k^2}{b^2+b^2k^2}=\dfrac{k^4+k^2}{k^2+1}=\dfrac{k^2\left(k^2+1\right)}{k^2+1}=k^2\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{bk^2}{b}=k^2\)

Do đó: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\)

 “Cho a/c = b/c. Chứng minh rằng a²/b² + c²/b² = a/b”.

Tuy nhiên, có vẻ như có một sự nhầm lẫn ở đây. Nếu a/c = b/c thì a phải bằng b. Khi đó, phương trình trở thành 1 + c²/b² = 1, điều này không đúng với mọi giá trị của b và c. Có thể bạn đã ghi nhầm bài toán. Bạn có thể kiểm tra lại và cung cấp cho tôi bài toán chính xác không?

viết kĩ vào

Từ bài toán này (mà bạn đã hỏi cách đây vài bữa):

cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\) - Hoc24

Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)

Do đó: \(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\)

Lại có: \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=3\)

Đặt \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=x\ge3\Rightarrow VT\ge x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{8x}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{9x}}+\dfrac{8}{9}.3=\dfrac{10}{3}\) (đpcm)

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}}=\dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{3b}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge\dfrac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\)

Cộng vế:

\(3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Rightarrow\) đpcm

có làm thì mới có ăn ko làm mà đòi có ăn thì ăn đồng bằng ăn cát

Bài 1:a,b,c ba cạnh tam giác => a,b,c dương

\(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a+b>c\\b+c>a\end{matrix}\right.\) ta có: \(\dfrac{x}{y}< \dfrac{x+p}{y+p}\forall_{x,y,p>0\&x< y}\)

\(VT=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}< \dfrac{a+c+c}{a+b+c}+\dfrac{b+b}{a+b+c}=\)

\(=\dfrac{a+b+c+b+c}{a+b+c}< \dfrac{\left(a+b+c\right)+\left(A+b+c\right)}{a+b+c}< \dfrac{2\left(b+a+c\right)}{a+b+c}=2=VP\)

p/s: đề sao làm vậy:

mình nghi đề phải thế này: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\) cách làm đơn giản hơn