Kẻ \(BH⊥AC;NK⊥MP\)

Khi đó ta thấy ngay \(\Delta MNK\sim\Delta ABH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{NK}{BH}=\frac{MN}{AB}\)

Lại có \(\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.MP.NK}{\frac{1}{2}.AC.BH}=\frac{NK}{BH}.\frac{MP}{AC}=\frac{MN}{AB}.\frac{MP}{AC}=\frac{MN.MP}{AB.AC}\left(đpcm\right)\)

Hạ đường cao BH

Ta có:

\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.BH.AC\)

\(=\dfrac{1}{2}.AB\)\(.\)\(\dfrac{BH}{AB}.AC\)

\(=\dfrac{1}{2}.AB.sin\left(\widehat{A}\right).AC\)( Điều phải chứng minh)

CHÚ Ý: Tỷ số về diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng 

Áp dụng:

\(k=\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}=\frac{AB+BC+CA}{MN+NP+PM}=\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}\)

Vậy => \(\frac{S_{ABC}}{S_{MNP}}=k^2=\left(\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}\right)^2\)

ĐPCM

AM = MN = NP ; BP = PQ = QC nên AM = 1/3 AD ; MN = 1/2 MD ; QC = 1/3 BC ; PQ = 1/2 BQ

\(\Delta ABM,\Delta ABD\)có chung đường cao hạ từ B và đáy AM = 1/3 AD nên S_ABM = 1/3 S_ABD

\(\Delta QCD,\Delta BCD\)có chung đường cao hạ từ D và đáy QC = 1/3 BC nên S_QCD = 1/3 S_BCD

=> S_MBQD = S_ABCD - (S_ABM + S_QCD) = S_ABCD - 1/3 x (S_ABD + S_BCD) = S_ABCD - 1/3 S_ABCD = 2/3 S_ABCD 

\(\Delta MNQ,\Delta MDQ\)có chung đường cao hạ từ Q và đáy MN = 1/2 MD nên S_MNQ = 1/2 S_MDQ

\(\Delta MPQ,\Delta MBQ\)có chung đường cao hạ từ M và đáy PQ = 1/2 BQ nên S_MPQ = 1/2 S_MBQ

=> S_MNQP = S_MNQ + S_MPQ = 1/2 x (S_MDQ + S_MBQ) = 1/2 x S_MBQD = 1/2 x 2/3 x S_ABCD = 1/3 x 600 = 200 (cm²)

Gọi số kg gạo ở 2 bao lần lượt là 3a và a thì số kg gạo ở 2 bao sau đó lần lượt là 3a - 30 và a + 25 (ĐK : a > 10).Theo đề :

\(3a-30=\frac{2}{3}\left(a+25\right)\Leftrightarrow3a-30=\frac{2}{3}a+\frac{50}{3}\Leftrightarrow3a-\frac{2}{3}a=\frac{50}{3}+30\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{3}a=\frac{140}{3}\Leftrightarrow a=20\left(tmđk\right)\Leftrightarrow3a=60\)

Vậy lúc đầu số gạo ở bao I là 60 kg,bao II là 20 kg

Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow 50^\circ  + 60^\circ  + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat C = 70^\circ \end{array}\)

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

\(\begin{array}{l}\widehat B = \widehat N = 60^\circ \\\widehat C = \widehat P = 70^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta MNP\) (g-g).

\(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\)

Xét tam giác ADE và tam giác ABC có : 

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) \(\left(=\cos\widehat{A}\right)\)

\(\widehat{A}\) là góc chung 

Do đó : \(\Delta ADE~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

Mà tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên 

\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2=\cos^2\widehat{A}\)\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ( đpcm ) 

làm tạm 1 câu :v 

\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.1=S_{ABC}\left(\sin^2\widehat{A}+\cos^2\widehat{A}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}+S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\)

\(\Leftrightarrow\)\(S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}\) ( do \(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ) 

à anh bỏ cái dòng đầu \(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\) ở câu a) đi nhé, quên xoá >_< 

B

B

B