Ta có:

\(2xy\le x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.7=14\)

Dấu = xảy ra khi .....

Câu a) 

Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b

Nên a² + b² \(\ge\) (1 - b)² + b² = 2b² - 2b + 1 = 2(b² - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)² + 1 \(\ge\) 1

Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(x + y)² = (1.x + 1.y)² \(\le\) (1² + 1²)(x² + y²) = 2.1 = 2

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

câu1 : cần sửa lại là A²  + B² \(\ge\frac{1}{2}\)

Ta chứng minh được : (A+B)² \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)

<=> A²  + B²  + 2A.B \(\le\) 2. (A²  + B²)

<=> 0 \(\le\) A²  + B²  - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)² luôn đúng => (*) đúng

b) Áp sung câu a => (x+y)² \(\le\)2.(x² + y²) = 2 => đpcm

1/

Xét hiệu $(x+1)^2-4x^2=(x+1)^2-(2x)^2=(x+1-2x)(x+1+2x)$

$=(1-x)(3x+1)$
Do $x\in (0;1)$ nên $1-x>0; 3x+1>0$

$\Rightarrow (x+1)^2-4x^2>0\Rightarrow (x+1)^2> 4x^2$

2/

Xét hiệu:

$(1+x+y)^2-4(x^2+y^2)=x^2+y^2+1+2x+2y+2xy-4x^2-4y^2$

$=1+2x+2y+2xy-3x^2-3y^2$

$=2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2$
Vì $x,y\in (0;1)$ nên: 

$2x(1-x)>0$

$2y(1-y)>0$

$(x-1)(y-1)>0\Rightarrow xy+1> x+y=x.1+y.1> x^2+y^2$

$\Rightarrow 1+xy-x^2-y^2>0$

$\Rightarrow 1+2xy-x^2-y^2>0$

Suy ra: $2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2>0$

$\Rightarrow (1+x+y)^2> 4(x^2+y^2)$

1. Sửa lại đề là \(8^7-2^{18}⋮14\)

Ta có:

\(8^7-2^{18}=\left(2^3\right)^7-2^{18}\)

\(=2^{21}-2^{18}\)

\(=2^{18}.\left(2^3-1\right)\)

\(=2^{18}.7\)

\(=2^{17}.2.7\)

\(=2^{17}.14\)

Vì \(14⋮14\) nên \(2^{17}.14⋮14\)

\(\Rightarrow8^7-2^{18}⋮14\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Câu 2) đề bài có sai không bạn? đỗ thị kiều trinh

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:

\(\frac{x^6}{y^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{x^8y^2}{y^2}}=2x^4\)

\(\frac{y^6}{x^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{y^8x^2}{x^2}}=2y^4\)

Cộng từng các BĐT trên:

\(\frac{x^6}{y^2}+2x^2y^2+\frac{y^6}{x^2}\ge2x^4+2y^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+x^4+y^4+y^4-2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4+\left(x^2-y^2\right)^2\ge x^4+y^4\)

Vậy \(\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\))

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)