Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+4\right)\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+4y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

x^2 +4y^2 >= 1/5 ta có x+4y=1 => x=1-4y

=> x^2 +4y^2-1/5 >=0

thay x=1-4y vào ta đk

1-8y+16Y^2 +4y^2 -1/5 >=0

20y^2-8y+4/5>=0

5(2y-2/5)>=0(luôn đúng )

suy ra đpcm

Bài 1 :

Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)

Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :

\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)

Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

a: \(A=-4x^5y^3-2x^2y^3z^2-2y^4\)

b: \(B=-4x^5y^3-2x^2y^3z^2-2y^4+2x^2y^3z^2-\dfrac{2}{3}y^4+\dfrac{1}{5}x^4y^3=-4x^5y^3+\dfrac{1}{5}x^4y^3-\dfrac{8}{3}y^4\)

2) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{1+2y}{18}=\dfrac{1+6y}{6x}=\dfrac{1+2y+1+6y}{18+6x}=\dfrac{2\left(1+4y\right)}{2\left(9+3x\right)}=\dfrac{1+4y}{9+3x}\)

⇒ \(\dfrac{1+4y}{9+3x}=\dfrac{1+4y}{28}\)

⇒\(9+3x=28\)

⇒\(3x=19\)

⇒\(x=\dfrac{19}{3}\)

bạn thay vào là tìm được y

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\frac{2x+1}{5}=\frac{4y-2}{7}=\frac{2x+4y-1}{6x}=\frac{\left(2x+1\right)+\left(4y-2\right)}{5+7}=\frac{2x+4y-1}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{2x+4y-1}{6x}=\frac{2x+4y-1}{12}\)

\(\Rightarrow6x=12\)

\(\Rightarrow x=2\)

Thay x = 2 , ta được :

\(\frac{2x+1}{5}=\frac{4y-2}{7}\)

hay \(1=\frac{4y-2}{7}\Rightarrow4y-2=7\Rightarrow4y=9\Rightarrow y=\frac{9}{4}\)

Vậy x = 2 ; y = \(\frac{9}{4}\)

Đề phải là CMR: \(x^2+4y^2\ge0,2\) nha bạn.

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

(Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\))

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\left(x+4y\right)^2=\left(1.x+2.2y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)=5\left(x^2+4y^2\right)\)

Mà \(x+4y=1\) nên \(x^2+4y^2\ge\frac{1}{5}=0,2\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{1}=\frac{2y}{2}=y\\x+4y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{5}\)

Áp dụng Bunhia...

\(\left(1.x+2.2y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right).\)

\(1\le5.\left(x^2+4y^2\right).\Leftrightarrow x^2+4y^2\ge\frac{1}{5}=0,2\)

Ta có : -\(\dfrac{1}{2}x^2y^3z\cdot\dfrac{1}{5}x^4y^3z^3=-\dfrac{1}{10}x^6y^6z^4\) < 0 \(\forall x,y,z\ne0\)

Vậy 2 đơn thức trên có giá trị là 2 số khác dấu.