Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Thanh Tùng
Xem chi tiết
Scarlett Ohara
Xem chi tiết
Akai Haruma
30 tháng 10 2021 lúc 13:57

Lời giải:

$A=(x-y)+\frac{4}{x-y}+y+\frac{1}{y}$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$(x-y)+\frac{4}{x-y}\geq 2\sqrt{(x-y).\frac{4}{x-y}}=4$
$y+\frac{1}{y}\geq 2$

$\Rightarrow A\geq 4+2=6$

Vậy $A_{\min}=6$ khi $(x,y)=(3,1)$

Đỗ Thuỳ Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 7 2021 lúc 20:27

Đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

\(\dfrac{x^4}{y^4}+\dfrac{y^4}{x^4}=\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)^2-2=\left(t^2-2\right)^2-2=t^4-4t^2+2\)

\(\Rightarrow P=f\left(t\right)=t^4-4t^2+2-\left(t^2-2\right)+t\)

\(f\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4\) trên \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)

\(f'\left(t\right)=g\left(t\right)=4t^3-10t+1\)

\(g\left(t\right)\) bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(g\left(-2\right)=-11\) ; \(g\left(0\right)=1\)

\(\Rightarrow g\left(-2\right).g\left(0\right)< 0\Rightarrow g\left(t\right)=0\) có nghiệm \(t_1\in\left(-2;0\right)\)

\(g\left(1\right)=-5< 0\Rightarrow g\left(0\right).g\left(1\right)< 0\Rightarrow g\left(t\right)\) có nghiệm \(t_2\in\left(0;1\right)\)

\(g\left(2\right)=13\Rightarrow g\left(1\right).g\left(2\right)< 0\Rightarrow g\left(t\right)\) có nghiệm \(t_3\in\left(1;2\right)\)

Dấu \(f'\left(t\right)\):

undefined

Từ đây ta thấy \(f\left(t\right)\) nghịch biến trên \((-\infty;-2]\) và đồng biến trên \([2;+\infty)\)

Hay GTNN của \(f\left(t\right)\) sẽ rơi vào \(t=-2\) hoặc \(t=2\)

\(f\left(-2\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=-2\) khi \(t=-2\) hay \(P_{min}=-2\) khi \(x=-y\)

Ngô Bảo Châu
Xem chi tiết
Ngô Bảo Châu
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
14 tháng 1 2021 lúc 10:05

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y+z-4}=a>0\\\sqrt{z+x-4}=b>0\\\sqrt{x+y-4}=c>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b^2+c^2-a^2+4}{2}\\y=\dfrac{c^2+a^2-b^2+4}{2}\\z=\dfrac{a^2+b^2-c^2+4}{2}\end{matrix}\right.\).

\(2P=\dfrac{b^2+c^2-a^2+4}{a}+\dfrac{c^2+a^2-b^2+4}{b}+\dfrac{a^2+b^2-c^2+4}{c}=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}-a-b-c\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\left(\dfrac{a^2}{b}+b\right)+\left(\dfrac{b^2}{c}+c\right)+\left(\dfrac{c^2}{a}+a\right)-\left(a+b+c\right)\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\).

Tương tự, \(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}\ge a+b+c\).

Do đó \(2P\ge a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}=\left(a+\dfrac{4}{a}\right)+\left(b+\dfrac{4}{b}\right)+\left(c+\dfrac{4}{c}\right)\ge4+4+4=12\Rightarrow P\ge6\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 hay x = y = z = 4.

Vậy Min P = 6 khi x = y = z = 4.

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 1 2021 lúc 10:25

\(P=\dfrac{4x}{2.2.\sqrt{y+z-4}}+\dfrac{4y}{2.2.\sqrt{x+z-4}}+\dfrac{4z}{2.2.\sqrt{x+y-4}}\)

\(P\ge4\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\ge4.\dfrac{3}{2}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=4\)

Nguyễn Đức Việt
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Việt
11 tháng 5 2023 lúc 18:47

Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)

Nguyễn Đức Việt
Xem chi tiết
Lê Song Phương
11 tháng 5 2023 lúc 21:53

Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có 

\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)

\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)

    \(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

 

Doanh Dư Trí
Xem chi tiết
Doanh Dư Trí
22 tháng 10 2021 lúc 12:06

Giúp mình với 

 

Nguyễn Hoàng Minh
22 tháng 10 2021 lúc 12:20

Áp dụng BĐT cosi:

\(A=\left(3x+\dfrac{3}{x}\right)+\left(\dfrac{4}{9}y+\dfrac{4}{y}\right)+\left(2x+y\right)\\ A\ge2\sqrt{\dfrac{9x}{x}}+2\sqrt{\dfrac{16y}{9y}}+5\\ A\ge2\cdot3+2\cdot\dfrac{4}{3}+5=\dfrac{41}{3}\)

Vậy \(A_{min}=\dfrac{41}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=\dfrac{3}{x}\\\dfrac{4y}{9}=\dfrac{4}{y}\\2x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\)