Không mất tính tổng quát giả sử x ≥ y

⇒x²<x²+8y≤x²+8x<(x+4)²

VÌ x²+8yx²+8y là số chính phương ⇒x²+8y=(x+1)2x²+8y=(x+1)2

hoặc x²+8y=(x+2)2x²+8y=(x+2)² 

hoặc x²+8y=(x+3)²

Nếu x²+8y=(x+1)²

⇒8y=2x+1 (vô lí vì 1 bên lẻ 1 bên chẵn)

Nếu x²+8y=(x+2)²  ⇒8y=4x+4  ⇒2y=x+1

⇒[(x+1)2]²+8x  ⇒(x+12)²+8x là số chính phương.

⇒x²+34x+1=a² với a∈N

⇒(x+17)²−288=a²

        ⇒(x+17−a)(x+17+a)=288

Đến đây thì dễ rồi

Nếu x²+8y=(x+3)2 ⇒8y=6x+9x²+8y=(x+3)² 

⇒8y=6x+9 (Vô lí vì VT chẵn còn VP thì không)

Giả sử x ≤ y

Ta có: y² ≤ y² + 8x ≤ y² + 8y ≤ y² + 8y + 16 = (y + 4)²

=> y² + 8x = (y+1)²

                      (y+2)²

                       (y+3)²

Xét TH₁ : y² + 8x = (y + 1)²

=> y² + 8x = y² + 2y +1

=> 8x - 2y = 1

=> 4x - y = 1212 => Loại vì x, y ∈ N^*

Xét TH₂: y² + 8x = (y + 2)²

=> y² + 8x = y² + 4x + 4

=> 8x - 4y = 4

=> 2x - y = 1 mà x;y ∈ N^* nên ta có các trường hợp sau:

Nếu x = 1 => y = 1 => x² + 8y = 9 (TM) ; y² + 8x = 9 (TM)

Nếu x = 2 => y = 3 => x² + 8y = 28 (Loại)

Nếu x ≥ 3 => 2x ≥ 6 => y ≤ 5 => Loại vì x≤ y

Xét TH₃ : y² + 8x = ( y +3 )²

=> y² + 8x = y² + 6y + 9

=> 8x - 6y = 9

=> 4x - 3y = 4,5 => Loại vì x,y ∈ N^*

Vậy (x,y) = (1;1)

cái dới không correct

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\)

Ta có:

\(x^2< x^2+8y\le x^2+8x< x^2+8x+16=\left(x+4\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+8y=\left(x+1\right)^2or\left(x+2\right)^2or\left(x+3\right)^2\)

PS: Vì e là CTV nên a chỉ gợi ý thôi nha. Phần còn lại e thử tự nghĩ xem sao nhé. A giải quyết cho e phần khó nhất rồi đấy :)

Anh Alibaba Nguyễn, giải tìm x ntn vậy, em mới tìm được y thôi

Bài này trong câu hỏi tương tự

mình ko biết làm

-Đặt \(x^2+8x=a^2\)

\(\Rightarrow x^2+8x+16=a^2+16\)

\(\Rightarrow\left(x+4\right)^2-a^2=16\)

\(\Rightarrow\left(x+a+4\right)\left(x-a+4\right)=16\)

-Vì \(x,a\) là các số nguyên dương \(\Rightarrow x+a+4>x-a+4\) và \(16=16.1=8.2=4.4\)

\(\Rightarrow x+a+4=16;x-a+4=1\Rightarrow x=\dfrac{9}{2};a=\dfrac{15}{2}\left(loại\right)\)

\(x+a+4=8;x-a+4=2\Rightarrow x=1;a=3\left(nhận\right)\)

\(x+a+4=4;x-a+4=4\Rightarrow x=a=0\left(nhận\right)\)

-Vậy \(x\in\left\{0;1\right\}\)

Sao câu dễ vậy mà không ai trả lời đc

Giả sử x lớn hơn y

Thấy x² + 8y lớn hơn x² và nhỏ hơn x² + 8x nhỏ hơn (x + 4)² suy ra nó nằm giữa 2 cái bình phương vừa nêu. Áp dụn chẵn lẻ loại 2 th suy ra 2y = x + 1 thay vào y² + 8x là ra thôi. Thầy mình ra bài này thấy dễ quá định lên mạng chép mà mấy thằng thông minh không rảnh mà lên mạng. Với cả thay vào y² + 8x kẹp tiếp bạn nhé rồi xét TH. Xong 😅

\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)

Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm 

\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)

Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Tiếp tục phần tiếp theo

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\) (vô lý vì 2=2+2.2)

⇒ Không có cặp (x;y) nguyên dương nào thỏa mãn đề bài

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{y+z}=\dfrac{y}{z}\Rightarrow xz=y^2\)

\(\left(y+2\right)\left(4xz+6y-3\right)=n^2\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)=n^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)

\(\Rightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) nguyên tố cùng nhau

Mà \(\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là SCP \(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) đồng thời là SCP

\(\Rightarrow4y^2+6y-3=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2k\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4y+3-2k\right)\left(4y+3+2k\right)=21\)

Giải pt ước số trên ra \(y=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn

Thế vào \(xz=y^2=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)