Minz Ank

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x;y;z) thoả mãn \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y+x}{y+z}\) và

(y + 2).(4xz + 6y - 3) là số chính phương.

Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2023 lúc 16:19

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{y+z}=\dfrac{y}{z}\Rightarrow xz=y^2\)

\(\left(y+2\right)\left(4xz+6y-3\right)=n^2\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)=n^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)

\(\Rightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) nguyên tố cùng nhau

Mà \(\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là SCP \(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) đồng thời là SCP

\(\Rightarrow4y^2+6y-3=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2k\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4y+3-2k\right)\left(4y+3+2k\right)=21\)

Giải pt ước số trên ra \(y=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn

Thế vào \(xz=y^2=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Tiến Nguyễn Minh
Xem chi tiết
Hồ Lê Thiên Đức
Xem chi tiết
Hoàng Phúc
Xem chi tiết
Linhhhhhh
Xem chi tiết
nguyễn thanh huyền
Xem chi tiết
Đặng Anh Tuấn
Xem chi tiết
BiBo MoMo
Xem chi tiết
Nguyen Thi Hang
Xem chi tiết
Thanh Ngọc
Xem chi tiết