Từ H, kẻ đường thẳng song song với DC cắt AB tại I

Xét ΔBDC có 

H là trung điểm của BC(gt)

HI//CD(gt)

Do đó: I là trung điểm của BD(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔAHI có 

M là trung điểm của AH(gt)

MD//IH(gt)

Do đó: D là trung điểm của AI(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: D là trung điểm của AI(cmt)

nên AD=DI

Ta có: I là trung điểm của BD(cmt)

nên ID=BI

Ta có: AD+DI+BI=AB

nên 3AD=AB

hay \(AD=\dfrac{1}{3}AB\)

Ta có: AD+BD=AB(D nằm giữa A và B)

nên \(BD=AB-AD=AB-\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{2}{3}AB\)

Ta có: \(\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2\cdot AB}{3}:\dfrac{1\cdot AB}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2\cdot AB}{AB}=2\)

nên BD=2AD

a,

\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao nên đồng thời là trung trực

\(=>BH=HC\)

mà N là trung điểm BD\(=>BN=ND\)

=>\(HN\) là đường trung bình \(\Delta BCD\)\(=>HN//DC\)

b,từ ý a \(=>DM//HN\) mà M là trung điểm AH

=>AD=DN

mà DN=BN=>AD=DN=BN

mà AD+DN+BN=AB\(=>AD=\dfrac{1}{3}AB\)

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC

nên H là trung điểm của CB

Xét ΔBDC có

H là trung điểm của BC

N là trung điểm của BD

Do đó: HN là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: HN//DC và \(HN=\dfrac{DC}{2}\)

b: Xét ΔANH có

M là trung điểm của AH

MD//NH

Do đó: D là trung điểm của AN

Suy ra: AD=DN

mà DN=NB

nên AD=DN=NB

Suy ra: \(AD=\dfrac{AD+DN+NB}{3}=\dfrac{AB}{3}\)

a: Xét ΔBEC có 

I là trung điểm của BE

M là trung điểm của BC

Do đó: IM là đường trung bình của ΔBEC

Suy ra: \(IM=\dfrac{EC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔDCB có 

K là trung điểm của DC

M là trung điểm của BC

Do đó: KM là đường trung bình của ΔDCB

Suy ra: \(KM=\dfrac{BD}{2}\)

mà BD=CE

nên \(KM=\dfrac{CE}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra IM=KM

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

Bài 1: 

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là đường trung tuyến

Xét ΔABC có

AH là đường trung tuyến

BD là đường trung tuyến

AH cắt BD tại E

Do đó: E là trọng tâm của ΔABC

Giải

Ta thấy đường trung bình tam giác ABC nên BEDC là hình thang, lại có\(BM=MC\cdot DN=NC\Rightarrow MN\)   là đường trung bình hình thang BEDC hay MN ong song DE và BC. Lại dùng đường trung bình thì 

\(MI=KN=\frac{DE}{2}\left(1\right)\)

\(MN=\frac{DE^2+BC}{2}\Rightarrow IK=MN-2MI=\frac{DE+BC}{2}-DE\)

\(=\frac{BC-DE}{2}=\frac{DE^2}{2}\left(BC=2DE\right)\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow Q\cdot E\cdot D\Rightarrowđcpm\)

Mình sẽ làm câu b trước rồi từ đó suy ra a
b)Giả sử MP=PQ=QN đã có từ trước
Xét △△ ABC có E là trung điểm AB,D là trung điểm AC \Rightarrow ED là đường trung bình của △△ ABC\Rightarrow ED//BC và ED=BC/2(*)
Xét hình thang EDBC có M là trung điểm BE,N là trung điểm CE \Rightarrow MN//BC( (*) (*) )
Từ (*)( (*) (*) ) \Rightarrow ED//MN
Xét △△ BED có M là trung điểm BE,MP//ED \Rightarrow MP là đường trung bình của △△ BED \Rightarrow MP=ED/2
Tương tự cũng có NQ=ED/2
Ta có :MP=PQ
\Leftrightarrow ED2=BC−ED2ED2=BC−ED2
\Leftrightarrow ED=BC-ED
\Leftrightarrow 2ED=BC
Tương tự với NQ và PQ cũng rứa
Vậy muốn NQ=PQ=MP thì 2ED=BC Điều này là hiển nhiên ở (*)
từ đó phát triển lên câu a)NQ=PQ=MP=1/2ED
\Rightarrow MN=3/2ED \RightarrowMN=3/4BC
Đúng thì thanks giùm nha

Xét tam giác BDC có:

H là trung điểm BC (gt)

N là trung điểm BD(gt)

=> NH là đường trung bình của tam giác BDC

=> NH//DC

Mà \(M\in DC\)

=> NH//DM

Xét tam giác ANH có:

NH//DM(cmt)

Mà M là trung điểm AH(gt)

=> D là trung điểm AN

=> ND=AD

Mà ND = NB( N là trung điểm BD)

=> ND=AD=NB

=> \(AD=\dfrac{1}{3}AB\)

a: Xét ΔBDC có 

H là trung điểm của BC

N là trung điểm của BD

Do đó: HN là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: HN//DC

hay DM//NH

Xét ΔANH có 

M là trung điểm của AH

MD//NH

Do đó: D là trung điểm của AN

Suy ra: DA=DN

hay \(AD=\dfrac{1}{3}AB\)