Bài 1. Tìm các số tự nhiêm x để các phân số sau nhận giá trị nguyên :
1) \(\dfrac{n+3}{2n-2}\); 2) \(\dfrac{12}{3n-1}\); 3)\(\dfrac{2n+3}{7}\); 4) \(\dfrac{n+10}{2n-8}\).
Bài 2. Tìm các số nguyên x, y sao cho:
1) \(\dfrac{3}{x}+\dfrac{y}{3}=\dfrac{5}{6}\); 2) \(\dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{y}=\dfrac{1}{5}\); 3) \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{y}{3}=\dfrac{5}{6}\);
4)\(\dfrac{5}{x}-\dfrac{y}{3}=\dfrac{1}{6}\); 5) \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{30}\); 6) xy - x - y = 2;
7) 2xy - x + y = 3; 8) 2xy - 4x + y = 7; 9) 3xy + x - y = 1.
Bài 3. Chứng minh rằng:
1) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2;
2) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6;
3) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8;
4) Tích của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120;
5) Tích của bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 24;
6) Tích của bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 720;
7) Tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48.
Mk đang cần gấp. Các bnm giúp mk nhanh nha. Mk sẽ tick cho.

1. Cho N=\(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{60}\)

CMR \(\dfrac{3}{5}< N< \dfrac{4}{5}\)

2. Cho M=\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}+...+\dfrac{29}{3^{29}}-\dfrac{30}{3^{30}}\)

CMR \(M< \dfrac{3}{16}\)

3. Cho Q=\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{26}{27}+...+\dfrac{3^{2021}-1}{3^{2021}}\)

CMR \(Q>\dfrac{4041}{2}\)

Bài 1: Tìm x; y ϵ \(ℤ\)
a) 2x - y\(\sqrt{6}\) = 5 + (x + 1)\(\sqrt{6}\)
b) 5x + y - (2x -1)\(\sqrt{7}\) = y\(\sqrt{7}\) + 2

Bài 2: So sánh M và N
M = \(\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{11}}{\dfrac{6}{4}+\dfrac{6}{5}+\dfrac{6}{7}-\dfrac{6}{11}}\)

N = \(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{2}{11}}{\dfrac{6}{2}+\dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{7}-\dfrac{6}{11}}\)

Bài 3: Chứng minh:
\(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...+\dfrac{1}{2023!}< 1\)

tìm nghiệm của phân thức viết dưới dạng phân số

a.\(\dfrac{4}{\left(2+\dfrac{2}{1+\dfrac{4}{5}}\right)x-\left(1-\dfrac{4}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{7}{8}}}\right)}+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4}}}\)

= \(4+\dfrac{2}{1+\dfrac{8}{9}}\)

b.

\(\dfrac{1}{2+\dfrac{3}{4+\dfrac{5}{6+\dfrac{7}{8}}}}=\dfrac{1}{3+\dfrac{2}{5+\dfrac{3}{7+\dfrac{4}{9}}}}+x.\left(4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}}\right)\)

(giải bằng máy tính casio )

Tính giá trị biểu thức :

1. \(A=\dfrac{\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{7}-\dfrac{2}{9}-\dfrac{2}{11}}{\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{11}}\)

2. \(B=\dfrac{1^2}{1\cdot2}\cdot\dfrac{2^2}{2\cdot3}\cdot\dfrac{3^2}{3\cdot4}\cdot\dfrac{4^2}{4\cdot5}\)

3. \(C=\dfrac{2^2}{1\cdot3}\cdot\dfrac{3^2}{2\cdot4}\cdot\dfrac{4^2}{3\cdot5}\cdot\dfrac{5^2}{4\cdot6}\cdot\dfrac{5^2}{4\cdot6}\)

4. \(D=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{6}\right)\cdot\left(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\right)^2\)

5. Cho \(M=8\dfrac{2}{7}-\left(3\dfrac{4}{9}+4\dfrac{2}{7}\right)\) ; \(N=\left(10\dfrac{2}{9}+2\dfrac{3}{5}\right)-6\dfrac{2}{9}\). Tính \(P=M-N\)

6. \(E=10101\left(\dfrac{5}{111111}+\dfrac{5}{222222}-\dfrac{4}{3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37}\right)\)

7. \(F=\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{13}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{7}-\dfrac{2}{13}}\cdot\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{16}-\dfrac{3}{256}+\dfrac{3}{64}}{1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{64}}+\dfrac{5}{8}\)

8. \(G=\text{[}\dfrac{\left(6-4\dfrac{1}{2}\right):0,03}{\left(3\dfrac{1}{20}-2,65\right)\cdot4+\dfrac{2}{5}}-\dfrac{\left(0,3-\dfrac{3}{20}\right)\cdot1\dfrac{1}{2}}{\left(1,88+2\dfrac{3}{25}\right)\cdot\dfrac{1}{80}}\text{]}:\dfrac{49}{60}\)

9. \(H=\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot5\cdot6}+...+\dfrac{1}{98\cdot99\cdot100}\)

10. \(I=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{15}{16}\cdot\dfrac{24}{25}\cdot...\cdot\dfrac{2499}{2500}\)

11. \(K=\left(-1\dfrac{1}{2}\right)\left(-1\dfrac{1}{3}\right)\left(-1\dfrac{1}{4}\right)...\left(-1\dfrac{1}{999}\right)\)

12. \(L=1\dfrac{1}{3}+1\dfrac{1}{8}+1\dfrac{1}{15}...\) (98 thừa số)

13. \(M=-2+\dfrac{1}{-2+\dfrac{1}{-2+\dfrac{1}{-2+\dfrac{1}{3}}}}\)

14. \(N=\dfrac{155-\dfrac{10}{7}-\dfrac{5}{11}+\dfrac{5}{23}}{403-\dfrac{26}{7}-\dfrac{13}{11}+\dfrac{13}{23}}\)

15. \(P=\left(\dfrac{1}{4}-1\right)\left(\dfrac{1}{5}-1\right)...\left(\dfrac{1}{2001}-1\right)\)

16. \(Q=\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot5}+...+\dfrac{1}{2005\cdot2006}\right):\left(\dfrac{1}{1004\cdot2006}+\dfrac{1}{1005\cdot2005}+...+\dfrac{1}{2006\cdot1004}\right)\)

a) Tìm cặp số nguyên n sao cho n chia hết cho 2n - 4

b) Tính tổng S = 1 - 2 + 2² - 2³ + 2⁴ - 2⁵ + 2⁶ - 2⁷ + ... - 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴

c) Chứng minh :

\(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{7}\) + ... + \(\dfrac{1}{2012}\) - \(\dfrac{1}{2013}\) + \(\dfrac{1}{2014}\) < \(\dfrac{2}{5}\)