Tham khảo:

Xét tam giác BFC và tam giác BEC có :

BC chung

FC = BE

\(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\)

 ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat B\) ( 2 góc tương ứng ) (1)

Xét tam giác CFA và tam giác ADC ta có :

CF = AD

AC chung

\(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = {90^o}\)

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat A\)(2 góc tương ứng ) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat C = \widehat A = \widehat B\) \( \Rightarrow \)Tam giác ABC là tam giác đều do có 3 góc bằng nhau 

Xét ΔFBC vuông tại F và ΔECB vuông tại E có

BC chung

FC=EB

=>ΔFBC=ΔECB

=>góc FBC=góc ECB

=>góc ABC=góc ACB

=>ΔABC cân tại A

b: Xét ΔABC vuông tại B có 

\(BA^2+BC^2=AC^2\)

hay \(BC=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại B có BE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AE\cdot AC\\BC^2=CE\cdot CA\\BE\cdot AC=BA\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=1.5\left(cm\right)\\CE=4.5\left(cm\right)\\BE=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác BFC vuông tại F và tam giác BEC vuông tại E có :

BC chung

FC = BE

=> Tam giác BFC= Tam giác BEC(ch-cgv)

=> Góc C= Góc B( 2 góc tương ứng) (1)

Xét tam giác CFA vuông tại F và tam giác ADC vuông tại D ta có :

CF = AD

AC chung

=>  Tam giác CFA= Tam giác ADC(ch-cgv)

=>  Góc C= Góc A( 2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra Góc C= Góc A= Góc B  

Vậy Tam Giacs ABC là tam giác đều

ta có: S_ABM=\(\frac{1}{2}AM.BE=\frac{1}{2}.13.7=45,5cm^2\)

ta có ; S_ABM=\(\frac{1}{2}.AM.BE=\frac{1}{2}.13.7=45,5cm^2\)

mà trong tam giác ABC thì AM là đường trung tuyến nên: S_ABM=S_ACM=>S_ABC=2S_{ABM=2.45,5=91cm²}

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

Xét ΔAFE và ΔACB có

góc AFE=góc ACB

góc A chung

=>ΔAFE đồng dạng vơi ΔACB

xét tam giác ADC và tam giác BEC

có ACB^ chung

BEC^=ADC^=90

=>tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (g-g)

=>\(\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{DC}{AC}\)(1)

từ (1) kết hợp với ACB^ chung nên ta có tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC (c-g-c)

Đặt DH = x. Trên tia đối của tia DA em lấy điểm E sao cho DE = DH = x 
=> tam giác BEH cân tại B => ^DBE = ^DBH (1) và BE = BH = 30 
Mặt khác : ^ABD = ^ACD = ^BHD (2) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc AC _|_ BH; CD _|_ DH) 
(1) + (2) : ^ABD + ^DBE = ^BHD + ^DBH = 90o => tam giác ABE vuông tại B 
Trong tg ABE vuông tại B đường cao BD nên ta có hệ thức: 
DE.AE = BE² 
<=> DE(AH + DH + DE) = BE² 
<=> x(2x + 14) = 900 
<=> 2x² + 14x - 900 = 0 
Giải ra x = 18 ( loại nghiệm x = - 25) 
=> AD = AH + DH = 14 + 18 = 32