:vv Đề là j z e?

Đề bài yêu cầu gì?

giải phương trình nghiệm nguyên

a) x²-y²=45 =>(x-y)(x+y)=45. Vì x,y là các số tự nhiên và x-y<x+y nên ta có thể viết:

(x-y)(x+y)=3.15 hay (x-y)(x+y)=5.9

=>x-y=3 và x+y=15 hay x-y=5 và x+y=9.

=>x=9 và y=6 (đều loại) hay x=7 và y=2 (đều thỏa mãn).

- Vậy x=7, y=2.

b) - Sửa lại đề: S=1+3+3²+3³+...+3³⁰.

=(1+3+3²)+(3²+3³+3⁴+3⁵)+...+(3²⁷+3²⁸+3²⁹+3³⁰).

=13+3²(1+3+3²+3³)+...+3²⁷(1+3+3²+3³)

=13+3².40+...+3²⁷.40

=13+40.(3²+...+3²⁷) chia 5 dư 3.

- Mà các số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0.1.4.5.6.9 nên số chính phương chia 5 dư 0;1;4.

- Vậy S không phải là số chính phương.

\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)

Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm 

\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)

Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Tiếp tục phần tiếp theo

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\) (vô lý vì 2=2+2.2)

⇒ Không có cặp (x;y) nguyên dương nào thỏa mãn đề bài

Ta có (1)  ⇔ x 4 + x 2 + 20 = y 2 + y

Ta thấy:  x 4 + x 2 < x 4 + x 2 + 20 ≤ x 4 + x 2 + 20 + 8 x 2 ⇔ x 2 ( x 2 + 1 ) < y ( y + 1 ) ≤ ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 )

Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau

+ TH1.  y ( y + 1 ) = ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 3 x 2 + 2 ⇔ 2 x 2 = 18 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 3

Với  x 2 = 9   ⇒ y 2 + y = 9 2 + 9 + 20 ⇔ y 2 + y − 110 = 0 ⇔ y = 10 ; y = − 11 ( t . m )

+ TH2  y ( y + 1 ) = ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 3 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 5 x 2 + 6 ⇔ 4 x 2 = 14 ⇔ x 2 = 7 2   ( l o ạ i )

+ TH3: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 4 ) ⇔ 6 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 3   ( l o ạ i )

+ TH4:  y ( y + 1 ) = ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 ) ⇔ 8 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0

Với  x 2 = 0  ta có  y 2 + y = 20 ⇔ y 2 + y − 20 = 0 ⇔ y = − 5 ; y = 4

Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :

(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).

\(\Leftrightarrow\)\(4y^2+12y=4x^4+4x^2+72\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2=\left(2x^2+1\right)^2+80\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2-\left(2x^2+1\right)^2=80\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+3-2x^2-1\right)\left(2y+3+2x^2+1\right)=80\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x^2+1\right)\left(y+x^2+2\right)=20\)

Do \(x,y\in Z\) => \(y+1-x^2;y+x^2+2\in Z\)

=>\(y+1-x^2;y+x^2+2\inƯ\left(20\right)\)

Kẻ bảng làm nốt nha.

P = x⁶ + y⁶ = (x² + y²)(x⁴ - x² y² + y⁴) 

= (x² + y²)² - 3x² y² \(\ge1-3×\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

Đạt được khi x² = y² = \(\frac{1}{2}\)