a.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2mx+m^2-m+3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2m+m^2-m+3\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m^2-m+3\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m+4\ne0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>3\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(m>3\)

b.

Phương trình có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi: \(mx^2+3x+m=0\) có 2 nghiệm pb khác 3

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\9m+9+m\ne0\\\Delta=9-4m^2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{9}{10}\\-\dfrac{3}{2}< m< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

a) \(\left(x-6\right).\left(2x-5\right).\left(3x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-6\right).\left(2x-5\right).3.\left(x+3\right)=0\)

Vì \(3\ne0.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-6=0\\2x-5=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\2x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=\frac{5}{2}\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là: \(S=\left\{6;\frac{5}{2};-3\right\}.\)

b) \(2x.\left(x-3\right)+5.\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right).\left(2x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\2x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\2x=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là: \(S=\left\{3;-\frac{5}{2}\right\}.\)

c) \(\left(x^2-4\right)-\left(x-2\right).\left(3-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2^2\right)-\left(x-2\right).\left(3-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(x+2\right)-\left(x-2\right).\left(3-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(x+2-3+2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\3x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\3x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là: \(S=\left\{2;\frac{1}{3}\right\}.\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 4 xem lại đề nhé bác

Đặt \(\dfrac{\pi}{3}+mx=t\Rightarrow mx=t-\dfrac{\pi}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\pi}{6}-mx=\dfrac{\pi}{6}-\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}-t\)

Pt trở thành:

\(cos^2t+4cos\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=4\)

\(\Leftrightarrow1-sin^2t+4sint=4\)

\(\Leftrightarrow sin^2t-4sint+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sint=1\\sint=3>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(\Rightarrow\dfrac{\pi}{3}+mx=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow mx=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right)\)

\(0< x< 1\Rightarrow0< \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right)< 1\Rightarrow-\dfrac{1}{12}< k< \dfrac{m-\dfrac{\pi}{6}}{2\pi}\) (1)

Pt có 4 nghiệm pb trên đoạn đã cho khi có 4 giá trị k nguyên thỏa mãn (1)

\(\Rightarrow k=\left\{0;1;2;3\right\}\)

\(\Rightarrow3< \dfrac{m-\dfrac{\pi}{6}}{2\pi}\le4\)

\(\Rightarrow\dfrac{37\pi}{6}< m\le\dfrac{49\pi}{6}\)

Nghiệm trên \(\left(0;\pi\right)\) hay (0;1) nhỉ?

Thực ra 2 cái này cũng ko khác gì nhau về mặt pp giải toán nhưng mà \(\left(0;\pi\right)\) thì tính toán đẹp hơn \(\left(0;1\right)\) nhiều

\(mx^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\)(Đk:m≠0)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m\left(m+3\right)\)

\(\Delta'=m^2-2m+1-m^2-3m\)

\(\Delta'=1-5m\)

a,Để pt có nghiệm kép 

Thì\(\Delta'=0\)

\(\Leftrightarrow1-5m=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{5}\)

b, Để pt có 2 nghiệm phân biệt

Thì\(\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow1-5m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{5}\)

c,Để pt có nghiệm 

Thì\(\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-5m\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{1}{5}\)

d, Để pt vô nghiệm 

Thì\(\Delta'< 0\)

\(\Leftrightarrow1-5m< 0\Rightarrow m>\dfrac{1}{5}\)

Lời giải:
$m=0$ thì pt trở thành $-2x+3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

$m\neq 0$ thì pt là pt bậc 2 ẩn $x$

$\Delta'=(m-1)^2-m(m+3)=1-5m$

PT có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta'=1-5m=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{5}$

PT có 2 nghiệm pb $\Leftrightarrow \Delta'=1-5m>0$

$\Leftrightarrow m< \frac{1}{5}$

Vậy pt có 2 nghiệm pb khi $m< \frac{1}{5}$ và $m\neq 0$

PT có nghiệm khi \(\left[\begin{matrix} m=0\\ \Delta'=1-5m\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=0\\ m\leq \frac{1}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{5}\)

PT vô nghiệm khi $\Delta'=1-5m< 0$

$\Leftrightarrow m> \frac{1}{5}$

Ta có: \(\Delta=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot m\cdot\left(m+3\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2-4m\left(m+3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2-12m\)

\(=-16m+4\)

a) Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow-16m=-4\)

hay \(m=\dfrac{1}{4}\)

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow-16m>-4\)

hay \(m< \dfrac{1}{4}\)

c) Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow-16m\ge-4\)

hay \(m\le\dfrac{1}{4}\)