các bạn ơi, giúp mình với:
Cho \(x\ge y\ge z>0\)
Chứng minh rằng \(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2\)
Các bạn giúp mình làm bài này với ạ!
Cho x, y, z > 0
Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge x+y+z.\)
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
Cho \(x\ge y\ge z>0.CMR:\frac{x^2y}{2}+\frac{y^2z}{2}+\frac{z^2x}{2}\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
Cho x,y,z > 0. Chứng minh \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{y}\ge\sqrt{3}\)
\(\sqrt{x^2+y^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=\sqrt{3}.\sqrt[3]{xy^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt[3]{xy^2}}{z}+\frac{\sqrt[3]{yz^2}}{x}+\frac{\sqrt[3]{zx^2}}{y}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{xy^2.yz^2.zx^2}}{xyz}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{x^3y^3z^3}}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
Chứng minh rằng \(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\)
\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế:
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)
Vì \(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(2y+z+x\right)^2}+\frac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\ge\frac{3}{16}\)
Cho x,y,z > 0 CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
Lời giải:
BĐT \(\Leftrightarrow (9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(xy+yz+xz)\geq 36xyz(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:
\(9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1+1+...+1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)
\(xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
Nhân theo vế ta có BĐT $(*)$ luôn đúng
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Cho x, y, z>0 và x\(\ge\)z. Chứng minh \(\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\ge\frac{5}{2}\)
1 slot tối làm cho :))
Bài này trích trong đề thi HSG Toán 9 tỉnh Thanh Hóa
Như đã hứa,giờ làm cho :))
BĐT\(\Leftrightarrow\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{x+z}\ge\frac{3}{2}\).Đặt \(\frac{x}{y}=a>0;\frac{y}{z}=b>0\)\(\Rightarrow ab=\frac{x}{z}\ge1\)
Ta có BĐT:\(\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{xz}{y^2}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\).Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có:
\(\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a+b}\).Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a+b}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}\)(*).Thật vậy:
(*)\(\Rightarrow\frac{a+b}{2ab+a+b}\ge\frac{2}{a+b+2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)\ge2\left(2ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Nên \(\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{1}{ab+1}\)\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{4}{4+\left(a+b\right)^2}\)
Đặt \(m=a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\).Ta cần chứng minh:\(\frac{2m}{m+2}+\frac{4}{4+m^2}\ge\frac{3}{2}\)(**).Thật vậy
(**)\(\Leftrightarrow\frac{2m}{m+2}+\frac{3m^2+4}{2m^2+8}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{2m\left(2m^2+8\right)-\left(m+2\right)\left(3m^2+4\right)}{\left(m+2\right)\left(2m^2+8\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m-2\right)^3}{\left(m+2\right)\left(2m^2+8\right)}\ge0\) đúng với mọi \(m\ge2\)
Vậy BĐT đã được chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi x=y=z
Cho x;y;z>0.CMR:\(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{y}\ge\sqrt{3}\)
\(\frac{x^4+y^4}{2}+\frac{y^4+z^4}{2}+\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Chứng minh hằng đẳng thức trên
Hằng đẳng thức ???
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ta có:
\(\frac{x^4+y^4}{2}\ge\frac{\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2}{2}\ge\frac{2x^2y^2}{2}=x^2y^2\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có;
\(\frac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2;\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\frac{x^4+y^4}{2}+\frac{y^4+z^4}{2}+\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=VP\)
Khi \(x=y=z\)
Áp dụng bđt Cô si cho 2 số không âm, ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4y^4}=x^2y^2\\\frac{y^4+z^4}{2}\ge\sqrt{y^4z^4}=y^2z^2\\\frac{z^4+x^4}{2}\ge\sqrt{z^4x^4}=z^2x^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{2}+\frac{y^4+z^4}{2}+\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
quốc huy khìn hử, đề có cho số dương hay ko âm đâu mà Cô si