a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số x² và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)

Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng  \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm số xác định khi: \(\left\{{}\begin{matrix}4\pi^2-x^2\ge0\\cosx\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\pi\le x\le2\pi\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

a: ĐKXĐ: (x+4)(x-1)<>0

hay \(x\notin\left\{-4;1\right\}\)

b: \(y-3=\dfrac{2x^2+6\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}+5-3x^2-9x+12}{x^2+3x-4}\)

\(=\dfrac{-x^2-9x+17+6\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}}{x^2+3x-4}< =0\)

=>y<=3

Câu a mình làm đc r, nhờ m.n làm hộ mình câu b và ý nhỏ này nx nhé, cũng nằm trong bài.

c) Tìm \(x\in Z\) để hàm số y=f(x) đạt GTNN? Tính giá trị đó.

a) • \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\)

ĐKXĐ: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

• \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \)

ĐKXĐ: \(4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\)

Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ;4} \right]\).

b) • Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\).

Tương tự ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: Hàm số không xác định tại điểm \({x_0} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 1}} =  - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

• Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 - x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x}  = \sqrt {4 - {x_0}}  = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\).

Ta có: \(g\left( 4 \right) = \sqrt {4 - 4}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {4 - x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x}  = \sqrt {4 - 4}  = 0 = g\left( 4 \right)\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 4\).

Hàm số không xác định tại mọi \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\).

ĐKXĐ:

a.

\(2x-4>0\Rightarrow x>2\Rightarrow D=\left(2;+\infty\right)\)

b.

\(2x+8>0\Rightarrow x>-4\Rightarrow D=\left(-4;+\infty\right)\)

c.

\(4-x>0\Rightarrow x< 4\Rightarrow D=\left(-\infty;4\right)\)

d.

\(\dfrac{1}{x+4}>0\Rightarrow x>-4\Rightarrow D=\left(-4;+\infty\right)\)

e. 

\(\left(x-3\right)\left(x+9\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< -9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D=\left(-\infty;-9\right)\cup\left(3;+\infty\right)\)

a: ĐKXĐ: 2x-4>0

=>2x>4

=>x>2

b: ĐKXĐ: 2x+8>0

=>2x>-8

=>x>-4

c: ĐKXĐ: 4-x>0

=>-x>-4

=>x<4

d: ĐKXĐ: \(\dfrac{1}{x+4}>0\)

=>x+4>0

=>x>-4

e: ĐKXĐ: \(\left(x-3\right)\left(x+9\right)>0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3>0\\x+9< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< -9\end{matrix}\right.\)

a) \(D=(0;+\infty)\backslash\left\{1\right\}\)

b) \(D=[2;+\infty)\)

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: \({D_f} = \mathbb{R};\;{D_g} = \mathbb{R}\)

b) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)\)

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) đối xứng qua trục tung

c) Ta có: \(g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} =  - {x^3} =  - g\left( x \right)\)

Đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^3}\) đối xứng qua gốc tọa độ

ĐKXĐ:

a.

\(2x^2+4x>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>0\\x< -2\end{matrix}\right.\)

b.

\(x^2-4>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -2\end{matrix}\right.\)

c.

\(x^2+3x-4>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -4\end{matrix}\right.\)

d.

\(\left(x-4\right)\left(x+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>4\\x< -2\end{matrix}\right.\)

e.

\(\left(x^2-4\right)\left(x+9\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-9< x< -2\\x>2\end{matrix}\right.\)