\(a,\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3-b^3\right)=2a^3\Rightarrowđpcm\)

\(b,\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)\Rightarrowđpcm\)

\(c,\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\)\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Rightarrowđpcm\)

a) (a+b)(a²-ab+b²)+(a-b)(a²+ab+b²)

= a³+b³+a³-b³ = 2a³

b) a³+b³

= (a+b)(a²-ab+b²)

= (a+b)(a²- 2ab+b²)+ab

= (a+b)(a²-b²)+ab

a. Biến đổi vế trái:

=>VT bằng VP (đpcm)

b. Biến đổi vế phải:

=>VP bằng VT (đpcm)

c. Biến đổi vế phải:

=>VP bằng VT (đpcm)

b) 

VP=(a+b)[(a-b)²+ab]

=(a+b)(a²-2ab+b²+ab)

=(a+b)(a²-ab+b²)

=a³+b³=VT

Vậy x³+y³=(a+b)[(a-b)²+ab]

c)

VP=(ac+bd)²+(ad-bc)²

=a²c²+2abcd+b²d²+a²d²-2abcd+b²c²

=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²

=(a²c²+a²d²)+(b²d²+b²c²)

=a².(c²+d²)+b².(c²+d²)

=(a²+b²)(c²+d²)

Vậy (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)²

tks mem trieu dang

\(\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2\left(ac+bd\right)\le\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2\left(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{4}+\dfrac{\left(b+d\right)^2}{4}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(\left(a+c\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)+\left(b+d\right)^2\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(a+c+b+d\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\Leftrightarrow0=0\)Có điều này đúng nên ta có đpcm đúng

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=\left(ac\right)^2+2acbd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2adbc+bc^2\)

\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

Ta có: VP = (ac + bd)² + (ad - bc)² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c²

= (a²c² + a²d² ) + (b²d²  + b²c²) = a²(c² + d²) + b²(c² + d²) = (a² + b²)(c² + d²) = VT

Vậy(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

(CHÚ Ý: Bạn không nhất thiết phải viết VT và VP đâu nhé!

BĐT\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2+6\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge8\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2-2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge0\) (*)

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd\)

\(d^2+a^2\ge2da;b^2+d^2\ge2bd;c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế các BĐT trên suy ra \(3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\ge2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)

Do vậy BĐT (*) đúng hay ta có đpcm.

P/s: EM còn khá dốt BĐT,mong được các anh chị chỉ bảo cho ạ!

Cần cù bù thông minh ^^

\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(-3a+b+c+d\right)^2+\frac{2}{9}\left(2b-c-d\right)^2+\frac{2}{3}\left(c-d\right)^2\ge0\)

Hihi mình phân tích hơi nham nhở thông cảm nha :(

Thử cách này xem sao:

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2}{3}\ge0\) (đúng)

Vậy ta có đpcm.

Trước hết , ta khai triển vế trái , sau đó , nhóm các hạng tử .

\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)

\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2c^2+b^2d^2\right)\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Vậy \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(ĐPCM\right)\)