các bạn giúp mình nha càng nhanh càng tốt

Chờ mình nhé 

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

Nhìn đề thấy mệt nên sửa lại đỡ mệt.

Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\end{cases}}\)

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)

Giải:

Theo đề ta có:

\(b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=\left(c+b\right)\left(c-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a+a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow0=0\)

Vậy....

Với a,b,c > 0 ta có :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+\left(b+c\right)}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)( Áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\) )

Tương tự ta cũng có :

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế , ta được :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu " = " xay ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\), vô nghiệm vì a,b,c >0

Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(1\right)\)

Lại có :

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng lại ta được :

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2 ) \(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt !!

Trả lời hộ mình đi

Qui đồng chứng minh tương đương là ra

\(a+b=2c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{a+b}{2}\\a-c=c-b\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}-\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-c}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+b}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Cách khác.

Đặt \(x=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}};y=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)(*)

Cần chứng minh \(x+y=2z\)

(*)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\sqrt{a}+\sqrt{c};\frac{1}{y}=\sqrt{b}+\sqrt{c};\frac{1}{z}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Cộng vế :

\(2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\frac{1}{x}+\sqrt{a}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}\right)^2\)

Tương tự :

\(b=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)

\(c=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2\)

Theo giả thiết : \(a+b=2c\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{4}\cdot\left[\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{xy}-\frac{2}{yz}-\frac{2}{zx}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{xy}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2z}{xyz}=\frac{x+y}{xyz}\)

\(\Leftrightarrow2z=x+y\) ( đpcm )