Với a,b,c > 0 ta có :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+\left(b+c\right)}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)( Áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\) )
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế , ta được :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xay ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\), vô nghiệm vì a,b,c >0
Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng lại ta được :
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2 ) \(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!
