a) Đây là phương trình bậc 2 ẩn x có 

Δ = (-m)² - 4(m-1)

   = m²-4m+4  = (m-2)²

Do (m-2)²≥0 ∀m => Δ≥0 ∀m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_1=2x_2\left(3\right)\)

Từ (1)(3) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}3x_2=m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m}{3}\\x_1=\dfrac{2m}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m}{3};x_2=\dfrac{m}{3}\) vào (2) ta có:

\(\dfrac{2m}{3}.\dfrac{m}{3}=m-1\)

<=> 2m² = 9(m - 1)

<=> 2m² - 9m + 9 = 0

<=> (m - 3)(2m - 3) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tại m ∈\(\left\{3;\dfrac{3}{2}\right\}\) thì hai nghiệm của phương trình thoả mãn x₁=2x₂

a) Ta có:

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-m\right)^2-4.1.\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Do phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Theo định lý Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-m\right)}{1}=m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{1}=m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1=2x_2\), thay vào (1) ta có:

\(2x_2+x_2=3\Leftrightarrow3x_2=m\Leftrightarrow x_2=\dfrac{m}{3}\)

\(\Rightarrow x_1=2x_2=\dfrac{2m}{3}\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m}{3};x_2=\dfrac{m}{3}\) vào (2) ta có:

\(\dfrac{2m}{3}.\dfrac{m}{3}=m-1\)

\(\Leftrightarrow2m^2=9m-9\)

\(\Leftrightarrow2m^2-9m+9=0\)    (*)

\(\Delta_m=\left(-9\right)^2-4.2.9=9\)

Phương trình (*) có 2 nghiệm:

\(m_1=\dfrac{-\left(-9\right)+\sqrt{9}}{2.2}=3\)

\(m_2=\dfrac{-\left(-9\right)-\sqrt{9}}{2.2}=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m=3;m=\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1=2x_2\)

a) Pt có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow m< 0\)

b) Pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow36-4m\ge0\Leftrightarrow m\le9\)

Áp dụng hệ thức viet có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(1\right)\\x_1x_2=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) kết hợp với điều kiện có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\\x_1-2x_2=m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=6-m\\x_1+x_2=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{6-m}{3}\\x_1=6-x_2=\dfrac{12+m}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=\dfrac{6-m}{3}.\dfrac{12+m}{3}=m\)

\(\Leftrightarrow72-15m-m^2=0\)

\(\Delta=3\sqrt{57}\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{-15\pm3\sqrt{57}}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy...

a, Với m= 2, ta có 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 1                                              

b) Phương trình (1) có hai nghiệm  x 1 , x 2  khi và chỉ khi  Δ ' ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2

Theo Vi-et , ta có:  x 1 + x 2 = m          1 x 1 . x 2 = m 2 − 2 2    2

Theo đề bài ta có:  A = 2 x 1 x 2 − x 1 − x 2 − 4 = m 2 − 2 − m − 4 = m − 3 m + 2

Do  − 2 ≤ m ≤ 2  nên  m + 2 ≥ 0 ,  m − 3 ≤ 0 . Suy ra  A = m + 2 − m + 3 = − m 2 + m + 6 = − m − 1 2 2 + 25 4 ≤ 25 4

Vậy  MaxA = 25 4  khi  m = 1 2 .

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: 

\(\Delta=9-4\left(m+1\right)>0\)  \(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{4}\)

Vậy \(\ m< \dfrac{5}{4}\) thì pt có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng hệ thức viet có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3\\x_1.x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2+7m+5.x_1x_2\)

\(=9-4\left(m+1\right)+7m+5\left(m+1\right)\)

\(=8m+10\)

Không tồn tại giá trị lớn nhất. Em xem lại đề

Lời giải:
a. Khi $m=1$ thì pt trở thành:
$x^2-3=0$

$\Leftrightarrow x^2=3\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$

b.

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta'=(m-1)^2-m(m-4)=2m+1\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m\geq \frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì:
$x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}$
$x_1x_2=\frac{m-4}{m}$

Khi đó:
$x_1+2x_2=3$

$\Leftrightarrow x_2=3-(x_1+x_2)=3-\frac{2(m-1)}{m}=\frac{m+2}{m}$

$x_1=\frac{2(m-1)}{m}-x_2=\frac{m-4}{m}$

$\frac{m-4}{m}=x_1x_2=\frac{m-4}{m}.\frac{m+2}{m}$
$\Leftrightarrow \frac{m-4}{m}(\frac{m+2}{m}-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{m-4}{m}.\frac{2}{m}=0$

$\Leftrightarrow m=4$ (tm)

\(\Delta=1-4\left(-m-2\right)\ge0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{9}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2-x_1x_2-2x_2=16\)

\(\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2-2x_2=16\)

\(\Leftrightarrow-x_1-2\left(-m-2\right)-2x_2=16\)

\(\Leftrightarrow x_1+2x_2=2m-12\)

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_2=2m-12\)

\(\Leftrightarrow-1+x_2=2m-12\Rightarrow x_2=2m-11\Rightarrow x_1=-1-x_2=-2m+10\)

Lại có: \(x_1x_2=-m-2\)

\(\Rightarrow\left(-2m+10\right)\left(2m-11\right)=-m-2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-43m+108=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=\dfrac{27}{4}\end{matrix}\right.\)

=>32m-16=0

=>m=1/2