Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Rightarrow m^2-4.1.\left(-2\right)>0\\ \Rightarrow m^2+8>0\left(luôn.đúng\right)\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1x_2+x_1x^2_2=2021\\ \Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=2021\\ \Leftrightarrow\left(-m\right)\left(-2\right)=2021\\ \Leftrightarrow2m=2021\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{2021}{2}\)

Để pt có 2 nghiệm thì

\(\Delta>0\\ \Rightarrow m^2-4.1.\left(-2\right)>0\\ \Rightarrow m^2+8>0.đúng.\forall.m\) 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng đlí Viét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2\end{matrix}\right.\) 

Lại có

\(x_1x_2+x_1x_2=2021\\ \Rightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)< 2021\\ \Rightarrow-2\left(-m\right)=2021\Rightarrow2m=2021\\ \Rightarrow m=\dfrac{2021}{2}\)

Ta có \(\Delta'=m^2-(m-3)=m^2-m+3>0\) nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Ta có \(\left|x_1\right|=\left|x_2\right|\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\left(loại\right)\\x_1+x_2=0\end{matrix}\right.\).

Do đó \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow\dfrac{2m}{1}=0\Leftrightarrow m=0\).

Vậy m = 0.

Áp dụng hệ thức vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1.x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x_1^2+x^2_2=30\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=30\)

\(4^2-2\left(m-1\right)=30\)

\(2m-2=-14\)

\(m=-6\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì 

\(\Delta'>0\Leftrightarrow2^2-\left(m-1\right)=5-m>0\Leftrightarrow m< 5\)

Khi \(m< 5\) phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1,x_2\).

Theo định lí Viete ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: 

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2\left(m-1\right)=18-2m=30\)

\(\Leftrightarrow m=-6\) (thỏa mãn) 

a, Với m= 2, ta có 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 1                                              

b) Phương trình (1) có hai nghiệm  x 1 , x 2  khi và chỉ khi  Δ ' ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2

Theo Vi-et , ta có:  x 1 + x 2 = m          1 x 1 . x 2 = m 2 − 2 2    2

Theo đề bài ta có:  A = 2 x 1 x 2 − x 1 − x 2 − 4 = m 2 − 2 − m − 4 = m − 3 m + 2

Do  − 2 ≤ m ≤ 2  nên  m + 2 ≥ 0 ,  m − 3 ≤ 0 . Suy ra  A = m + 2 − m + 3 = − m 2 + m + 6 = − m − 1 2 2 + 25 4 ≤ 25 4

Vậy  MaxA = 25 4  khi  m = 1 2 .

\(x^2+2mx-1=0\)

\(ac=-1.1=-1< 0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Theo đề:\(x_1+2x_2=0\Rightarrow x_1=-2x_2\)

\(\Rightarrow-2x_2^2=-1\Rightarrow x_2^2=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x_2=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}\Rightarrow x_1=\pm\sqrt{2}\)

\(TH_1:\left\{{}\begin{matrix}x_2=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\x_1=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1+x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(TH_2:\left\{{}\begin{matrix}x_2=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\x_1=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(ac=-1< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

a.

\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow4m^2+3=7\)

\(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)

b.

\(x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow x_1x_2=x_2^2\ge0\) (vô lý do \(x_1x_2=-1< 0\) với mọi m)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

Theo định lý Vi-et ta có: phương trình a x 2   +   b x   +   c = 0 có hai nghiệm x 1 ;   x 2  thì: 

Ta sử dụng một trong hai biểu thức trên để tìm nghiệm còn lại.

Ở bài giải dưới đây ta sẽ sử dụng điều kiện: 

(Các bạn có thể làm cách 2 sử dụng điều kiện  ).

d)  x 2   -   2 m x   +   m   -   1   =   0   ( 1 )

Vì x 1   =   2  là một nghiệm của pt (1) nên:

2 2   -   2 m . 2   +   m   -   1   =   0

⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0

⇔ 3- 3m = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x 1 . x 2   =   m   -   1  (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2 . x 2   =   0   ( v ì   x 1   =   2   và m = 1)

⇔   x 2   =   0