\(y'=\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{7}{2}x\)

Chỉ cần để ý 1 lý thuyết:

Đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\) và \(B\left(x_2;y_2\right)\) sẽ có hệ số góc \(k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)

Do đó ta có hệ số góc của đường thẳng MN là \(k=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{7}{2}x=3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) (sao lắm nghiệm vậy trời)

Biết hoành độ 3 tiếp điểm, bạn viết 3 pt tiếp tuyến rồi xét pt hoành độ với (C) coi cái nào có 4 nghiệm (trong đó có 1 nghiệm kép) thì nhận

Đáp án C.

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)

Câu 1: 

\(sin^2x+cos^2x=1\Leftrightarrow cos^2x=1-sin^2x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{15}\)

\(\Leftrightarrow cos^2x=\frac{\pm3}{5}\).

Câu 2: 

Đường tròn \(\left(C\right)\)có tâm \(I\left(2,-1\right)\)bán kính \(R=\sqrt{25}=5\).

Gọi \(d\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(C\right)\)tại điểm \(M\). Khi đó \(IM\)và \(d\)vuông góc với nhau.

\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(3,4\right)\)là một vector pháp tuyến của \(d\)

Suy ra phương trình \(d:3\left(x-5\right)+4\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-27=0\).

Bán kính đường tròn: \(R=\sqrt{10}\)

\(O=\left(2;0\right)\) là tâm đường tròn

\(\Rightarrow OM=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{5}< R=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow M\) nằm trong đường tròn

Kết luận: Số tiếp tuyến kẻ được từ M đến đường tròn (C) là 0.

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx-1=0\)

\(ac=-1< 0\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(y_1+y_2=y_1y_2\Leftrightarrow mx_1+1+mx_2+1=x_1^2x_2^2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_1+x_2\right)+2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2+1=0\) (vô nghiệm)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn đều bài

\(x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{m}{2}\) ; 

\(y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{mx_A+1+mx_B+1}{2}=\dfrac{m\left(x_A+x_B\right)+2}{2}=\dfrac{m^2+2}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2x_M\\m^2=2y_M-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2x_M\right)^2=2y_M-2\)

\(\Rightarrow y_M=2x_M^2+1\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích M là parabol có pt \(y=2x^2+1\)