\(\left(3^x;3^y;3^z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\ab+bc+ca=abc\end{matrix}\right.\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Thật vậy, ta có:

\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)

\(VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Áp dụng AM-GM:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng vế với vế rồi rút gọn, ta sẽ có đpcm

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})=\frac{x+1}{x}.\frac{y+1}{y}=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}\)

\(=\frac{(x+x+y)(y+x+y)}{xy}\geq \frac{3.\sqrt[3]{x^2y}.3\sqrt[3]{xy^2}}{xy}=\frac{9xy}{xy}=9\) 

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}

Cách 2:

\((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1+\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{xy}\)

\(=1+\frac{2}{xy}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

$\Rightarrow (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\geq 1+8=9$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=\frac{(x+x+y)(y+x+y)}{xy}\)

\(\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y}.3\sqrt[3]{xy^2}}{xy}=\frac{9xy}{xy}=9\)

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài 1:

Bài 2:

\(\frac{4^x}{2^{x+y}}=8\Leftrightarrow4^x=8.2^{x+y}\Leftrightarrow\left(2^2\right)^x=2^3.2^{x+y}\Leftrightarrow2^{2x}=2^{x+y+3}\)<=>2x=x+y+3<=>x=y+3

\(\frac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243\Leftrightarrow9^{x+y}=243.3^{5y}\Leftrightarrow\left(3^2\right)^{x+y}=3^5.3^{5y}\Leftrightarrow3^{2x+2y}=3^{5y+5}\)<=>2x+2y=5y+5

<=>2x=3y+5 mà x=y+3 => 2(y+3)=3y+5 <=> 2y+6=3y+5 <=> 6-5=3y-2y <=> y=1 <=> x=1+3=4

Vậy xy=4.1=4