→IB+→IA−→IC−→CM=→0

=>\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IM}\)

Đặt K là trung điểm AB

=>\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{2IK}\)(T/c trung tuyến)

=>\(\overrightarrow{2IK}=\overrightarrow{IM}\)

=>K,M,I thẳng hàng

Vậy điểm M thuộc đoạn KI sao cho \(\dfrac{\overrightarrow{IK}}{\overrightarrow{IM}}=\dfrac{1}{2}\)

+)\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{MC}\right|\)

+)\(\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\right|=\left| \overrightarrow{AB}\right|\)

=>MC=AB

=> từ đỉnh C của tam giá ABC lấy điểm M tm MC=AB

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BM}\)

Vậy M là điểm sao cho tứ giác ACBM là hình bình hành.

Có \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}\).
Suy ra: \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\)
Vậy điểm M được xác định sao cho \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\).

Lời giải:

a.

\(|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{BA|}\)

Tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $C$ đường bán kính $AB$

b. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó:

\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|\)

\(=|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MI}|=0\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=0\Leftrightarrow M\equiv I\)

Vậy điểm $M$ là trung điểm của $AB$

c.

Trên tia đối của tia $CA$ lấy $K$ sao cho $KC=\frac{1}{3}CA$

\(|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}|=2|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC}|=|2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC})^2=(2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC})^2\)

\(\Leftrightarrow MK^2+16KC^2=4MK^2+4KC^2\)

\(\Leftrightarrow 12KC^2=3MK^2\Leftrightarrow MK=2KC=\frac{2}{3}AC\)

Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $\frac{2}{3}AC$

d.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$

\(|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{CB}|\)

\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{CB}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{2}\)

Vậy điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{BC}{2}$
 

Tham khảo:

a)  \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//AM\\B \; \text {và}\;  M \; \text {nằm cùng phía so với điểm A}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) A, B, thẳng hàng và A nằm giữa B và M

b) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng phương

TH1: \(MA < MB\)

 M, A, B thẳng hàng & A nằm giữa M và B.

TH2: \(MA > MB\)

M, A, B thẳng hàng & B nằm giữa M và A.

c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng hướng

TH1: \(AM < AB\)

A, M, B thẳng hàng & M nằm giữa A và B.

TH2: \(AB < AM\)

A, M, B thẳng hàng & B nằm giữa A và M.

d) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA//MB\\A \; \text {và} \; B\; \text {nằm về hai phía so với điểm M}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) A, M, B thẳng hàng & M nằm giữa A và B.

Vậy điều kiện cần và đủ để M nằm giữa A và B là d) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng

Hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau \( \Leftrightarrow \) hai tia OA, OB đối nhau và OA = OB.

\( \Leftrightarrow \) O là trung điểm của AB hay AB là đường kính của đường tròn (O).

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau là AB là đường kính của đường tròn (O).