Tính \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) hả bạn?

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=2.\sqrt{3}.cos30^0=3\)

Đặt \(A=\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\Rightarrow A^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\)

\(=2^2+3+2.2.\sqrt{3}.cos30^0=13\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{13}\)

\(\overrightarrow{x}\) ⊥ \(\overrightarrow{y}\)

⇒ \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}\right)=0\). Đặt \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a;\left|\overrightarrow{b}\right|=b\)

⇒ 2a² - \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) + 2\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) - b² = 0

⇒ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) = b² - 2a² = 4 - 4 = 0

⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=90^0\)

\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Rightarrow\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\)

\(\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=2a^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-b^2\)

\(=2a^2-b^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)

\(=2.1-2+0=0\)

\(\Rightarrow\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\perp\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)

a: Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)

\(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\)=AB+BC

|vecto a+vecto b|=|vecto AB+vecto BC|=AC

AB+BC=AC

=>A,B,C thẳng hàng

=>vecto AB và vecto BC cùng hướng

c: |vecto a+vecto b|=|vecto a-vecto b|

=>vecto a+vecto b=vecto a-vecto b hoặc vecto a+vecto b=vecto b-vecto a

=>vecto b=vecto0 hoặc vecto a=vecto 0

\(\left|\overrightarrow{a}-2\cdot\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{15}\)

=>\(\left(\overrightarrow{a}-2\cdot\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-2\cdot\overrightarrow{b}\right)=15\)

=>\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-4\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4\cdot\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=15\)

=>\(\left(\left|\overrightarrow{a}\right|\right)^2-4\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4\cdot\left(\overrightarrow{b}\right)^2=15\)

=>\(1^2+4\cdot2^2-4\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=15\)

=>\(4\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1+16-15=2\)

=>\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\frac12\)

b: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(2k\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)

\(=2k\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2k\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)

\(=2k\cdot\left(\left|\overrightarrow{a}\right|\right)^2+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\left(2k-1\right)-\left(\overrightarrow{b}\right)^2\)

\(=2k\cdot1^2+\left(2k-1\right)\cdot\frac12-2^2=2k+k-\frac12-4=3k-\frac92\)

\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left(\left|\overrightarrow{a}\right|\right)^2+2\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\left(\left|\overrightarrow{b}\right|\right)^2\)

\(=1^2+2^2+2\cdot\frac12=5+1=6\)

=>\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt6\)

\(\left(2k\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=4k^2\cdot\left(\left|\overrightarrow{a}\right|\right)^2-2\cdot2k\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\left(\overrightarrow{b}\right)^2\)

\(=4k^2\cdot1-4k\cdot\frac12+4=4k^2-2k+4\)

=>\(\left|2k\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{4k^2-2k+4}\)

\(cos\left(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right);\left(2k\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\right)=cos60^0=\frac12\)

=>\(\frac{3k-4,5}{\sqrt{6\left(4k^2-2k+4\right)}}=\frac12\)

=>\(\sqrt{\frac{\left(3k-4,5\right)^2}{6\left(4k^2-2k+4\right)}}=\frac12\)

=>\(\frac{\left(3k-4,5\right)^2}{6\left(4k^2-2k+4\right)}=\frac14\)

=>\(6\left(4k^2-2k+4\right)=4\left(3k-4,5\right)^2\)

=>\(4\left(9k^2-27k+20,25\right)=6\left(4k^2-2k+4\right)\)

=>\(36k^2-108k+81=24k^2-12k+24\)

=>\(12k^2-96k+57=0\)

=>\(4k^2-32k+19=0\)

=>\(k=\frac{8\pm3\sqrt5}{2}\)

a) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 3.2;2.2 + 1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( { - 5;14} \right)\)

b) Do \(\overrightarrow x  + 2\overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c  - 2\overrightarrow b  = \left( { - 1 + 2 - 2.3;2 + \left( { - 3} \right) - 2.1} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow x  = \left( { - 5; - 3} \right)\)

a) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) vuông góc nên \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0\)

+) \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} + 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2\)

+) \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} - 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2\)

+) \(\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right) = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 - 1 = 0\)

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j } \right).\left( {3\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j } \right) = 2.3.\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right).\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right) = 6.0 = 0\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \)

\(\left(a+2b\right)^2=28\Leftrightarrow a^2+4b^2+4ab=28\)

\(\Rightarrow ab=\frac{28-4^2-4.3^2}{4}=-6\)

\(\Rightarrow cos\left(a;b\right)=-\frac{6}{4.3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow\left(a;b\right)=120^0\)

b) \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\) khi vectơ a và vectơ b cùng hướng

a) gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

=> IA+ IB=0

| 2MI|= |BA|

|MI|= 1/2|BA|

=> M thuộc đường tròn tâm I, bán kính =1/2 BA

B) gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GA+ GB+ GC=0

gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

=> IA+ IB=0

| 3MG|= 3/2| 2 MI|

3| MG|= 3| MI|

| MG|= | MI|

=> M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng GI

gọi JA+ 2JB+ JC=0

I là trung điểm đoạn AB

| 3MJ|= | 2 CI|

| MJ|=2/3| CI|

=> M thuộc đường tròn tâm J, bán kính = 2/3 CI