\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1

cách c/m:

\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)

\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)

\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)

\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)

\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)

\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1

\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1

\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?

p/s: sai sót bỏ qua >:

:V quên

dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\pm1\)

số mũ chẵn =.='

Boul đẹp trai_tán gái đổ 100% : Chứng minh hơi dài dòng

C1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2.\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow a^4=1\Leftrightarrow a=\pm1\)

....

C2: \(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+1}{a^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+1-2a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=\pm1\)

Bên dưới là chứng minh bằng 3 hay 6 bạn? Sao bằng 6 được nhỉ?

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=\frac{a-b}{2012-2013}=\frac{b-c}{2013-2014}=\frac{c-a}{2014-2012}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{-1}\right)\left(\frac{b-c}{-1}\right)=\left(\frac{c-a}{2}\right)^2\)

hay \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)

Đặt \(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2012k\\b=2013k\\c=2014k\end{cases}}\)

A = 4( a - b )( b - c ) - ( c - a )²

= 4( 2012k - 2013k )( 2013k - 2014k ) - ( 2014k - 2012k )²

= 4.( -k ).( -k ) - ( 2k )²

= 4k² - 4k² = 0

cho 2014=2013+1 thay vào ta có:\(B=x^{2013}-\left(2013+1\right)x^{2012}+\left(2013+1\right)x^{2011}-...-\left(2013+1\right)x^2+\left(2013+1\right)x-1\)

\(=x^{2013}-\left(x+1\right)x^{2012}+\left(x+1\right)x^{2011}-...-\left(x+1\right)x^2+\left(x+1\right)x-1\)

\(=x^{2013}-x^{2013}-x^{2012}+x^{2012}+x^{2011}-...-x^3-x^2+x^2+x-1\)

\(=x-1=2013-1=2012\)

nhiều quá

lớp 7 hả

\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)

Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)