Ta có \(abc=3\left(a+b+c\right)\)nên \(abc\)chia hết cho 3. Do a, b, c là các số nguyên tố nên phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3.
Giả giử số đó là a, a chia hết cho 3 và a là số nguyên tố nên a = 3.
Vậy ta có \(3.b.c=3\left(3+b+c\right)\Leftrightarrow bc=3+b+c\Leftrightarrow bc-b-c=3\)
           \(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)=4\)
 Vậy \(b-1\)là ước của 4.
 

Vậy có các số a, b, c thỏa mãn là : \(\left(a,b,c\right)=\left(3,2,5\right);\left(3,5,2\right);\left(3,3,3\right)\)

câu 2: 

Với  không là lập phương  số tự nhiên

 loại

Đặt  vì  lẻ

Vì  là số nguyên tố, 

 và  là số nguyên tố

 (Khi ) là số nguyên tố

 chọn

 p−qp−q chia hết cho 2 suy ra q=k.(2k−1)(2k+1)q=k.(2k−1)(2k+1)
Do vậy qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 suy ra vô lý vì nó là nguyên tố.
Suy ra q=3,p=5q=3,p=5 Thỏa mãn
TH2: p−q−1=2tp−q−1=2t nên t=0t=0 vì nếu không thì p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2 thay vào đề loại.
TH3: q=(2m−1)(2m−2)mq=(2m−1)(2m−2)m
Nếu qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 loại
Suy ra p=5,q=3p=5,q=3

em hok cop nha

nếu thấy nghi thì tại máy tính của em nó bị lỗi đấy ạ

1.

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

Do vế phải chia hết cho 3  \(\Rightarrow\) vế trái chia hết cho 3

\(\Rightarrow a+b+c⋮3\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3⋮27\)

\(a+b+c⋮3\Rightarrow3\left(a+b+c\right)⋮9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)⋮9\)

\(\Rightarrow3abc⋮9\Rightarrow abc⋮3\)

2.

Đặt \(2p+1=n^3\Rightarrow2p=n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\) (hiển nhiên n>1)

Do \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow n-1\) chẵn \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(\Rightarrow2p=\left(2k+1-1\right)\left(n^2+n+1\right)=2k\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow p=k\left(n^2+n+1\right)\Rightarrow k=1\Rightarrow n=3\)

\(\Rightarrow p=13\)

Tham khảo:

2, Với \(p=2->2p+1=5\) không là lập phương 1 số tự nhiên

\(->p=2\) loại

\(-> p>2->(p,2)=1\)

Đặt \(2p+1=(2k+1)^3, k∈ N,\)vì \(2p+1\) lẻ

\(->2p=(2k+1)^3-1\)

\(-> 2p=(2k+1-1)[(2k+1)^2+(2k+1)+1]\)

\(->2p=2k(4k^2+6k+3)\)

\(->p=k(4k^2+6k+3)\)

Vì \(p\)  là số nguyên tố, \(4k^2+6k+3>k\)

\(->k=1\) và \(4k^2+6k+3\) là số nguyên tố.

\(->4k^2+6k+3=13(\) khi \(k=1)\) là số nguyên tố

\(->k=1\) (chọn)

\(-> 2p+1=27\)

\(->p=13\)

3.

Do \(p+q>0\Rightarrow\left(p-q\right)^3>0\Rightarrow p>q\)

Nếu \(q=2\Rightarrow\left(p-2\right)^3=p+2\Rightarrow p^3-6p^2+11p-10=0\) ko có nghiệm nguyên (loại)

\(\Rightarrow q>2\Rightarrow q\) lẻ \(\Rightarrow p;q\) cùng lẻ \(\Rightarrow p-q\) chẵn

\(\Rightarrow p-q=2k\)

Ta có:

\(\left(p-q\right)^3=p+q\Rightarrow\left(p-q\right)^3-\left(p-q\right)=2q\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left[\left(p-q\right)^2-1\right]=2q\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\) 

\(\Rightarrow2k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\)

\(\Rightarrow q=k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)\)

Do q có 3 ước, mà \(p-q+1>p-q-1\)

\(\Rightarrow q\) là SNT khi \(k=p-q-1=1\)

\(\Rightarrow p-q=2k=2\) (1)

\(\Rightarrow p+q=\left(p-q\right)^3=2^3=8\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(5;3\right)\)

Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

\(\frac{2}{3}\)

ko hiểu cho lắm

ngu học thế,tick mik đi mik tick lại cho