Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
ILoveMath

1. Cho \(a,b,c\in Z\)\(a^3+b^3+c^3⋮9\). CMR abc⋮3

2. Tìm p nguyên tố để 2p+1 là lập phương 1 số tự nhiên

3. tìm p, q là các số nguyên tố phân biệt sao cho \(p+q=\left(p-q\right)^3\)

 

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 1 2022 lúc 22:29

1.

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

Do vế phải chia hết cho 3  \(\Rightarrow\) vế trái chia hết cho 3

\(\Rightarrow a+b+c⋮3\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3⋮27\)

\(a+b+c⋮3\Rightarrow3\left(a+b+c\right)⋮9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)⋮9\)

\(\Rightarrow3abc⋮9\Rightarrow abc⋮3\)

2.

Đặt \(2p+1=n^3\Rightarrow2p=n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\) (hiển nhiên n>1)

Do \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow n-1\) chẵn \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(\Rightarrow2p=\left(2k+1-1\right)\left(n^2+n+1\right)=2k\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow p=k\left(n^2+n+1\right)\Rightarrow k=1\Rightarrow n=3\)

\(\Rightarrow p=13\)

Lê Phương Mai
12 tháng 1 2022 lúc 22:32

Tham khảo:

2, Với \(p=2->2p+1=5\) không là lập phương 1 số tự nhiên

\(->p=2\) loại

\(-> p>2->(p,2)=1\)

Đặt \(2p+1=(2k+1)^3, k∈ N,\)vì \(2p+1\) lẻ

\(->2p=(2k+1)^3-1\)

\(-> 2p=(2k+1-1)[(2k+1)^2+(2k+1)+1]\)

\(->2p=2k(4k^2+6k+3)\)

\(->p=k(4k^2+6k+3)\)

Vì \(p\)  là số nguyên tố, \(4k^2+6k+3>k\)

\(->k=1\) và \(4k^2+6k+3\) là số nguyên tố.

\(->4k^2+6k+3=13(\) khi \(k=1)\) là số nguyên tố

\(->k=1\) (chọn)

\(-> 2p+1=27\)

\(->p=13\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 1 2022 lúc 22:39

3.

Do \(p+q>0\Rightarrow\left(p-q\right)^3>0\Rightarrow p>q\)

Nếu \(q=2\Rightarrow\left(p-2\right)^3=p+2\Rightarrow p^3-6p^2+11p-10=0\) ko có nghiệm nguyên (loại)

\(\Rightarrow q>2\Rightarrow q\) lẻ \(\Rightarrow p;q\) cùng lẻ \(\Rightarrow p-q\) chẵn

\(\Rightarrow p-q=2k\)

Ta có:

\(\left(p-q\right)^3=p+q\Rightarrow\left(p-q\right)^3-\left(p-q\right)=2q\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left[\left(p-q\right)^2-1\right]=2q\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\) 

\(\Rightarrow2k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\)

\(\Rightarrow q=k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)\)

Do q có 3 ước, mà \(p-q+1>p-q-1\)

\(\Rightarrow q\) là SNT khi \(k=p-q-1=1\)

\(\Rightarrow p-q=2k=2\) (1)

\(\Rightarrow p+q=\left(p-q\right)^3=2^3=8\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(5;3\right)\)


Các câu hỏi tương tự
ILoveMath
Xem chi tiết
Thanh Tùng Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Nga
Xem chi tiết
Linh_Chi_chimte
Xem chi tiết
Trần văn hạ
Xem chi tiết
viên cổn cổn
Xem chi tiết
Trương Tuấn Nghĩa
Xem chi tiết
Lê Thị Hải Anh
Xem chi tiết
Lê Quốc Vương
Xem chi tiết