Đề là: \(Q=\left(1+\dfrac{a}{x}\right)\left(1+\dfrac{a}{y}\right)\left(1+\dfrac{a}{z}\right)\) đúng không em nhỉ?

Ta có:

\(Q=\left(1+\dfrac{x+y+z}{x}\right)\left(1+\dfrac{x+y+z}{y}\right)\left(1+\dfrac{x+y+z}{z}\right)\)

\(=\dfrac{\left(x+x+y+z\right)\left(x+y+y+z\right)\left(x+y+z+z\right)}{xyz}\)

\(Q\ge\dfrac{4\sqrt[4]{x^2yz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.4\sqrt[4]{xyz^2}}{xyz}=\dfrac{64xyz}{xyz}=64\)

\(Q_{min}=64\) khi \(x=y=z=\dfrac{a}{3}\)

Đặt \(x=2a;y=2b;z=2c\)

Thì ta có: \(\sqrt{abc}=1\)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}=1\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2a+b+3}+\frac{1}{2b+c+3}+\frac{1}{2c+a+3}\right)\le\frac{1}{4}\)

Ta có:

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\sqrt{a}+2\sqrt{ab}+2}+\frac{1}{2\sqrt{b}+2\sqrt{bc}+2}+\frac{1}{2\sqrt{c}+2\sqrt{ca}+2}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\)

alibaba nguyễn: tớ có 1 khúc mắc là vì sao lại có thể đưa ra dòng thứ 3 (từ trên xuống dưới)

thật vậy ta có \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}\) \(+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ac}+1}\)

 =\(\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+\sqrt{abc}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc}+\sqrt{abc}+\sqrt{b}}\)

=\(\frac{\sqrt{bc}}{1+\sqrt{b}+\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc}+1+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1}=1\)

Bài 1:

a: Sửa đề \(x^3y-2x^2y+xy\)

\(=y\left(x^3-2x^2+x\right)\)

\(=x\cdot y\cdot\left(x^2-2x+1\right)\)

\(=xy\left(x-1\right)^2\)

b: Sửa đề: \(x^2-9-2xy+y^2\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)-9\)

\(=\left(x-y\right)^2-9\)

\(=\left(x-y-3\right)\left(x-y+3\right)\)

Bài 2:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{3;-3;-1\right\}\)

b: \(A=\left(\dfrac{x}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{x^2-1}{9-x^2}\right):\left(2-\dfrac{x+5}{x+3}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{x^2-1}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right):\dfrac{2x+6-x-5}{x+3}\)

\(=\dfrac{x\left(x-3\right)-2\left(x+3\right)-x^2+1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\cdot\dfrac{x+3}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^2-3x-2x-6-x^2+1}{x-3}\cdot\dfrac{1}{x+1}\)

\(=\dfrac{-5x-5}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=-\dfrac{5\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=-\dfrac{5}{x-3}\)

c: \(x^2-x-2=0\)

=>\(\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{-5}{2-3}=\dfrac{-5}{-1}=5\)

mình không biết làm:)

1) Áp dụng BĐT bunhia, ta có 

\(P^2\le3\left(6a+6b+6c\right)=18\Rightarrow P\le3\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2xy-4=x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Đặt \(\sqrt{xy}=t\)thì ta có: \(2t^2-2t-4\ge0\Leftrightarrow2\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\Rightarrow t\ge2\)

\(\Rightarrow xy\ge4\)

\(P=xy+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge xy+\frac{2}{xy}=\left(\frac{2}{xy}+\frac{xy}{8}\right)+\frac{7xy}{8}\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}.\frac{xy}{8}}+\frac{7.4}{8}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2

Bạn xem lại đề bài, mặc dù bài này giải được ra kết quả cụ thể, nhưng chắc không ai cho đề như vậy cả

Sau khi tính toán thì \(P_{min}=4+2\sqrt{3}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6};\dfrac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\right)\) và hoán vị

Nhìn thật kinh khủng, chẳng có lý gì cả.

Nếu điều kiện \(x+y=1\) thì biểu thức \(P=\dfrac{a}{x^3+y^3}+\dfrac{b}{xy}\) cần có tỉ lệ \(\dfrac{b}{a}\ge3\) để ra 1 kết quả đẹp mắt và bình thường

Ví dụ có thể cho đề là \(P=\dfrac{1}{3\left(x^3+y^3\right)}+\dfrac{1}{xy}\) hoặc \(P=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{4}{xy}\) gì đó :)