a) \(A = \left\{ {a \in \mathbb{Z}| - 4 < a <  - 1} \right\}\)

A là tập hợp các số nguyên a thỏa mãn \( - 4 < a <  - 1\).

\( - 4 < a <  - 1\) có nghĩa là: a là số nguyên nằm giữa \( - 4\) và \( - 1\). Có các số \( - 3; - 2\).

Vậy \(A = \left\{ { - 3; - 2} \right\}\)

b) \(B = \left\{ {b \in \mathbb{Z}| - 2 < b < 3} \right\}\)

B là tập hợp các số nguyên b thỏa mãn \( - 2 < b < 3\).

\( - 2 < b < 3\) có nghĩa là: b là số nguyên nằm giữa \( - 2\) và \(3\). Có các số \( - 1;0;1;2\).

Vậy \(B = \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)

c) \(C = \left\{ {c \in \mathbb{Z}| - 3 < c < 0} \right\}\)

C  là tập hợp các số nguyên c thỏa mãn \( - 3 < c < 0\).

\( - 3 < c < 0\) có nghĩa là: c là số nguyên nằm giữa \( - 3\) và 0. Có các số \( - 2; - 1\).

Vậy \(C = \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

d) \(D = \left\{ {d \in \mathbb{Z}| - 1 < d < 6} \right\}\)

D là tập hợp các số nguyên d thỏa mãn \( - 1 < d < 6\).

\( - 1 < d < 6\) có nghĩa là: b là số nguyên nằm giữa \( - 1\) và 6. Có các số \(0;1;2;3;4;5\).

Vậy \(D = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\)

Đề bài sai

Ví dụ: với \(a=1;b=2;c=3,d=4\) thì \(x=\dfrac{1}{2}\) ; \(y=\dfrac{3}{4}\) ; \(z=\dfrac{2}{3}\)

Khi đó  \(x< y\) nhưng \(z< y\)

\(\text{Vì }\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\text{ nên }ad< bc\left(1\right)\)

\(\text{Xét tích}:a\left(b+d\right)=ab+ad\left(2\right)\)

                \(b\left(a+c\right)=ba+bc\left(3\right)\)

\(\text{Từ(1);(2);(3)}\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\text{ do đó }\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\left(4\right)\)

\(\text{Tương tự ta có:}\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\left(5\right)\)

\(\text{Từ (4);(5) ta được }\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow x< y< z\)

\(\left(a^2+b^2+c^2+1\right)x=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2+1}\)

Ta có:

\(x^2-1=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}-1=\dfrac{\left(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2-1\right)\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2+1\right)}{\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left[-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2-2\right]\left[\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2+2\right]}{4\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}< 0\)

\(\Rightarrow x^2-1< 0\Rightarrow\left|x\right|< 1\)

(2x-x^2)(2x^3-3x-2)=0

=>x(2-x)(2x^3-3x-2)=0

=>x=0 hoặc 2-x=0 hoặc 2x^3-3x-2=0

=>\(x\in\left\{0;2;1,48\right\}\)

=>\(A=\left\{0;2;1,48\right\}\)

3<n^2<30

mà \(n\in Z^+\)

nên \(n\in\left\{2;3;4;5\right\}\)

=>B={2;3;4;5}

=>A giao B={2}

=>Chọn B

a + b + c + d = 0 

=> a = - b - c - d ; b = - a - c - d; c = - a - b - d

+) a = - b- c - d =>  ab = -b² - bc - bd => ab - cd = - b² - bc - bd - cd = -b(b + c) - d(b + c) = -(b +d)(b +c)

+) b = - a - c - d => bc = -ac - c² - cd => bc - ad = -ac - c² - cd - ad = -c(a + c) - d(a+c) = - (c +d)(a+c)

+) c = -a - b - d => ca = -a² - ab - ad => ca - bd = -a² - ab - ad - bd = - (a+b).(a+ d)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = - (b +d).(b +c).(c+d)(a+c)(a+b)(a+d) 

Vì a+ b + c + d = 0 => a + d = - (b + c) và b + d = - (a +c); c+d = - (a + b)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = (a+ b)². (b +c)². (c +a)²

=> \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)\left(ca-bd\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left|a+b\right|.\left|b+c\right|\left|c+a\right|\)

là số hữu tỉ với a; b; c;d là số hữu tỉ

Tick cho mình tròn 40 với

ta có: \(a+b+c+d=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c+d\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac+ad=0\)

\(\Leftrightarrow ad=-\left(a^2+ab+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow ad-bc=-\left(a^2+ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow ad-bc=-\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

c/m tương tự ta đc: \(ab-cd=-\left(a+c\right)\left(a+d\right)\)

                                \(ac-bd=-\left(a+b\right)\left(a+d\right)\)

\(\Rightarrow\left(ad-bc\right)\left(ab-cd\right)\left(ac-bd\right)=-\left(a+c\right)^2\left(a+b\right)^2\left(a+d\right)^2\)

                                                                            \(=\left[-\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+d\right)\right]^2\)

mà a;b;c;d là các số hữu tỉ nên:

\(-\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+d\right)\)là số hữu tỉ 

=> \(\left(ad-bc\right)\left(ab-cd\right)\left(ac-bd\right)\) là bình phương của 1 số hữu tỉ =>đpcm

Theo đề bài ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)

\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)  ( 2 )

Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )

Từ ( 2 ) , ( 3 ) 

 = > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )

Thấy \(a+b+c+d=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-b-c-d\\b=-a-c-d\\c=-a-b-d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab-cd=-b^2-bc-bd-cd=\text{-(b + c) (b + d)=(a+d)(b+d)}\\bc-ad=-ca-c^2-cd-ad=\text{-(a + c) (c + d)=(b+d)(c+d)}\\ca-bd=-a^2-ab-ad-bd=\text{-(a + b) (a + d)}=\left(c+d\right)\left(a+d\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)x=(a+d)(b+d)(c+d)

\(A=\left(a+b\right)+\left(c-d\right)-\left(c+a\right)-\left(b-d\right)\)

\(A=a+b+c-d-c-a-b+d\)

\(A=\left(a-a\right)+\left(b-b\right)+\left(c-c\right)+\left(d-d\right)\)

\(A=0\)