kẻ CH vuông góc AB 

Ta có : \(\sin A=\frac{CH}{AC};\sin B=\frac{CH}{BC}\)

do đó : \(\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\)( 1 )

Tương tự : \(\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

a) Ta có: \(bc.sinA=ca.sinB=ab.sinC\left(=2S_{ABC}\right)\Rightarrow b.sinA=a.sinB;c.sinB=b.sinC\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB};\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\Rightarrowđpcm\)

b) Ta có: \(a+b=2c\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=2\).

Từ câu a ta suy ra \(\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC};\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}\).

Do đó: \(\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinB}{sinC}=2\Rightarrow sinA+sinB=2sinC\) (đpcm).

Vẽ \(AH\perp BC\)

Ta có: \(\Delta AHB\perp H\)

\(\Rightarrow SinB=\frac{AH}{c}\)

Ta có: \(\Delta AHC\perp H\)

\(\Rightarrow SinC=\frac{AH}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AH}{c}:\frac{AH}{b}=\frac{AH}{c}.\frac{b}{AH}=\frac{b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(1\right)\)

Vẽ \(BK\perp AC\)

Ta có \(\Delta BKC\perp K\)

\(\Rightarrow SinC=\frac{BK}{a}\)

Ta có: \(\Delta AKB\perp K\)

\(\Rightarrow SinA=\frac{BK}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{BK}{c}:\frac{BK}{a}=\frac{BK}{c}.\frac{a}{BK}=\frac{a}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin C}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)

Kẻ đường cao AH vuông góc với BC (H \(\in\) BC)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:  \(\sin B=\frac{AH}{c}\Leftrightarrow AH=sinB\times c\) (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có: \(\sin C=\frac{AH}{b}\Leftrightarrow AH=\sin C\times b\)  (2)

(1),(2)\(\Rightarrow\sin C\times b=\sin B\times c\Leftrightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Rồi bạn chứng minh tương tự nha!

Dựng các đường cao như trên hình vẽ .

Ta có : \(\frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{BH}{c}}=\frac{ac}{BK}\)

\(\frac{b}{sinB}=\frac{b}{\frac{AH}{c}}=\frac{bc}{AH}\)

\(\frac{c}{sinC}=\frac{c}{\frac{BK}{a}}=\frac{ac}{BK}=\frac{c}{\frac{AH}{b}}=\frac{bc}{AH}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

Từ A ta kẻ AH vuông góc với BC, ta có ;
Sin B = \(\frac{Ah}{AB}\)
Sin C= \(\frac{Ah}{AC}\)
=> \(\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{Ah}{Ab}=\frac{Ah}{AB}:\frac{Ah}{AC}=\frac{AC}{AB}\) 

<=> \(\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{B}{C}\)
<=> \(\sin B=\frac{C}{\sin C}\)
Tương tự ta có : \(\sin A=\frac{C}{\sin C}\)
=> \(\frac{\sin A=B}{\sin B=C}=\frac{C}{\sin C}\text{đ}pcm\)

Kẻ AH vuông BC tại H

Đặt AH=H

Tam giác AHB vuông tại H và tam giác AHC vuông tại H

\(\Rightarrow sinB=\frac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow sinC=\frac{AH}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{sinB}{sinC}=\frac{AH}{AB}.\frac{AC}{AH}=\frac{h}{c}.\frac{b}{h}=\frac{b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) -->Đpcm

Kẻ AH vuông góc BC

Xét ΔAHB vuông tại H có sin B=AH/AB

=>AH=c*sin B

Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=AH/AC

=>AH=AC*sin C=b*sin C

=>c*sin B=b*sin C

=>c/sinC=b/sinB

Kẻ BK vuông góc AC

Xét ΔABK vuông tại K có

sin A=BK/AB

=>BK=c*sinA

Xét ΔBKC vuông tại K có 

sin C=BK/BC

=>BK/a=sin C

=>BK=a*sin C

=>c*sin A=a*sin C

=>c/sin C=a/sin A

=>a/sin A=b/sinB=c/sinC