\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.2^xlogx-12logx-2^x+4=0\left(1\right)\\5^x=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) và \(5^x\ge m\) (\(x>0\))

Xét (1):

\(\Leftrightarrow3logx\left(2^x-4\right)-\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3logx-1\right)\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=\sqrt[3]{10}\end{matrix}\right.\)

\(y=5^x\) đồng biến trên R nên (2) có tối đa 1 nghiệm

 Để pt đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  ta có các TH sau:

TH1: (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m\le0\) (ko có số nguyên dương nào)

TH2: (2) có nghiệm (khác với 2 nghiệm của (1)), đồng thời giá trị của m khiến cho đúng 1 nghiệm của (1) nằm ngoài miền xác định

(2) có nghiệm \(\Rightarrow m>0\Rightarrow x_3=log_5m\)

Do \(\sqrt[3]{10}>2\) nên bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_3< x_2\)

\(\Rightarrow2< log_5m< \sqrt[3]{10}\)

\(\Rightarrow25< m< 5^{\sqrt[3]{10}}\) (hơn 32 chút xíu)

\(\Rightarrow\) \(32-26+1\) giá trị nguyên

Điều kiện xác định x∈Rx∈R.

Đặt t=√x2+1 (t≥1t≥1)

Phương trình trở thành t2−1−4t−m+1=0

⇔t2−4t=m

⇔t2−4t=m. (1)

Để phương trình có 44 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 11.

Xét hàm số f(t)=t2−4t có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh x=2∈(1;+∞) nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 11 thì −4<m<−3

Vậy không có giá trị nguyên của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có

9 . 3 2 x - m ( 4 x 2 + 2 x + 1 4 + 3 m + 3 ) . 3 x + 1 = 0 ⇔ 3 x + 1 + 1 3 x + 1 - m 3 4 x + 1 + 3 m + 3 = 0 1

Đặt t=x+1, phương trình (1) thành

3 t + 1 3 t - m 3 4 x + 1 + 3 m + 3 = 0 2

Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Nhận xét: Nếu t 0  là một nghiệm của phương trình (2) thì - t 0  cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm t=0.

Với t=0 thay vào phương trình (2) ta có

- m 2 - m + 2 = 0 ⇔ [ m = 1 m = - 2

Thử lại:

+) Với m=-2 phương trình (2) thành  3 t + 1 3 t + 2 3 4 t - 3 = 0

Ta có 3 t + 1 3 t ≥ 2 , ∀ t ∈ ℝ  và 2 3 4 t - 3 = 0 , ∀ t ∈ ℝ  suy ra  3 t + 1 3 t + 2 3 4 t - 3 = 0 ≥ 0 , ∀ t ∈ ℝ

Dấu bằng xảy ra khi t=0, hay phương trình (2) có nghiệm duy nhất t=0 nên loại m=-2 

+) Với m=1 phương trình (2) thành  3 t + 1 3 t + 1 3 4 t + 6 = 0 ( 3 )

Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1 

Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1.Vì t là nghiệm thì -t cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên [ 0 ; + ∞ )

Trên tập  [ 0 ; + ∞ ) ,(3) ⇔ 3 t + 1 3 t + 1 3 4 t + 6 = 0  

Xét hàm f ' ( x ) = 3 t + 1 3 t + 1 3 4 t + 6  trên  [ 0 ; + ∞ )

Ta có

f ' ( t ) = 3 t ln 3 - 3 - t . ln 3 - 2 3 t , f ' ' ( t ) = 3 t ln 2 3 + 3 - t . ln 2 3 + 1 3 . t 3 > 0 , ∀ t > 0

Suy ra f '(t) đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) ⇒ f ' ( t ) = 0  có tối đa 1 nghiệm t > 0 ⇒ f ( t ) = 0  có tối đa 2 nghiệm t ∈ [ 0 ; + ∞ ) . Suy ra trên [ 0 ; + ∞ ) , phương trình (3) có 2 nghiệm t=0, t=1 

Do đó trên tập ℝ , phương trình (3) có đúng 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1. Vậy chọn m=1   

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được m=-2 ta có thể kết luận đáp án C do đề  không có phương án nào là không tồn tại m.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Đồ thị hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\)

\(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-1\right)f\left(\left|x\right|\right)-m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)=1\left(2\right)\\f\left(\left|x\right|\right)=-m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left(2\right)\) có hai nghiệm phân biệt nên phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình \(\left(3\right)\) có hai nghiệm phân biệt khác hai nghiệm của phương trình \(\left(2\right)\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m=-3\\-1< -m< 1\\-m>1\end{matrix}\right.\)

...

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\7^x\ge m\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}4log_2^2x+log_2x-5=0\\7^x-m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=2^{-\dfrac{5}{4}}\\7^x=m\end{matrix}\right.\) 

Với \(m\le0\) thì pt đã cho luôn có đúng 2 nghiệm

Vậy không cần xét tiếp, hiển nhiên là có vô số giá trị thực của m rồi?