Đặt P = n⁵ - 5n³ + 4n 

= n⁵ - n³ - 4n³ + 4n 

= n³(n² - 1) - 4n(n² - 1) 

= n³(n - 1)(n + 1) - 4n(n - 1)(n + 1) 

= (n - 1)n(n + 1)(n² - 4) 

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) (tích 5 số nguyên liên tiếp) 

=> P \(⋮3;5;8\)

mà (3;5;8) = 1

=> P \(⋮3.5.8=120\)

Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 ) 
=n (n^2-1)(n^2+1) 
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5) 
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5 
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
hay n^5-n chia hết cho 30

Ta có :

\(5n^3+15n^2+10\)

= \(5n.\left(n^2+3n+2\right)\)

= \(5n.\left(n^2+n+2n+2\right)\)

=\(5n.\left(n.\left(n+1\right)+2.\left(n+1\right)\right)\)

=5n.\(\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)

Vì n.(n+1).(n+2) lac tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6

=> 5.(n+1).(n+2) chia hết cho 30

Hay \(5n^3+15n^2+10n\) chia hết cho 30

\(5n^3+15n^2+10n=5n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n;n+1;n+2 là ba số liên tiếp

nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!=6\)

hay \(5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮30\)

\(5n^3+15n^2+10n\)

\(=\left(5n^3+5n^2\right)+\left(10n^2+10n\right)\)

\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(5n+10\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6; tức tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 6.

Tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\) thừa số 5 nên chia hết cho 5.

Mà ƯCLN ( 5;6) = 1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 5.6 = 30

Vậy \(5n^3+15n^2+10n\)chia hết cho 30

Trước tiên bn nên phân tích đa thức thành nhân tử để dễ dàng chứng minh hơn

Ta có: \(A=5n^3+15n^2+10n=5n^3+5n^2+10n^2+10n\)\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(5n^2+10n\right)\)\(=5.n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) \((\forall n\in Z)\) (bn tự cm)

\(\Rightarrow A\) \(⋮30\left(\forall n\in Z\right)\)

Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)

\(n^4-n^2-9\left(n^2-1\right)=n.n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3

\(\Rightarrow A⋮3\)

Lại có: \(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Do n lẻ, đặt \(n=2k+1\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 8

\(\Rightarrow A⋮\left(16.8\right)\Rightarrow A⋮128\)

Mà 3 và 128 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(128.3\right)\Rightarrow A⋮384\)

Ta Có:

Cho biểu thức trên là B

\(b\)\(=\)\(10\)\(^n\)+ \(72n\)\(-1\)

 \(=10\)\(^n\)\(+72n\)\(-1\)

\(=10^{n^{ }}\)\(-1\)(có n\(-1chữ\) số 9)=9\(x\)(11....1)(có n chữ số 1)

B= 10ⁿ-1+72n=9x(11....1)+72n 

=>B:9=11....1+8n=11....1-n+9n

Ta Thấy:11....1 có n chữ số1 có tổng các chữ số là n

=>11....1-n chia hết cho 9

=>B:9=11....1-n+9n chia hết cho 9

Vậy B chia hết cho 81

Ta Có:

Cho biểu thức trên là B

+ 

=10n=10n(có n−1chữ−1chữ số 9)=9(11....1)(có n chữ số 1)

B= 10ⁿ-1+72n=9x(11....1)+72n 

=>B:9=11....1+8n=11....1-n+9n

Ta Thấy:11....1 có n chữ số1 có tổng các chữ số là n

=>11....1-n chia hết cho 9

=>B:9=11....1-n+9n chia hết cho 9

Vậy B chia hết cho 81