Ta có :

 Với x chẵn => x = 2 => 2² + 117 = y²

  => 121 = y² => 11² = y² => y = 11 (thoả mãn)

Với x lẻ => x² cũng lẻ => x² + 117 chẵn và x > 2

=> y² chẵn => y = 2

Mà x < y => ko thoả mãn

Vậy x = 2 ; y = 11

`x^2-2y^2+2/3x^2y^3+B=2x^2+y^2+2/3x^2y^3`

`=>B=2x^2+y^2+2/3x^2y^3-x^2+2y^2-2/3x^2y^3`

`=>B=(2x^2-x^2)+(y^2+2y^2)+(2/3x^2y^3-2/3x^2y^3)`

`=>B=x^2+3y^2`

Thay `x=1 ; y=[-1]/3` vào `B` có:

   `B=1^2+3.([-1]/3)^2=1+3 . 1/9=1+1/3=4/3`

`x^2 - 2y^2 + 2/3x^2y^3 + B = 2x^2 + y^2 + 2/3x^2y^3`

`=> B  = 2x^2 + y^2 + 2/3x^2y^3` `- (x^2 - 2y^2 + 2/3x^2y^3)`

         `= 2x^2 + y^2 + 2/3x^2y^3 - x^2 + 2y^2 - 2/3x^2y^3`

         `= ( 2x^2 - x^2 ) + ( y^2 + 2y^2 ) + ( 2/3x^2y^3 - 2/3x^2y^3 )`

         `= x^2 + 3y^2`

Thay `x=1 ; y=-1/3` vào `B` ta có `:`

`B = 1^2 + 3 . ( -1/3 )^2`

   `= 1 + 1/3`

   `= 4/3` 

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{7}{4}\)

\(M_{min}=\dfrac{7}{4}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};1\right)\)

Lời giải:
a. Vì $x,y$ tỉ lệ thuận nên đặt $y=kx$. Ta có:

$y_1=kx_1$ hay $\frac{1}{2}=k.2\Rightarrow k=\frac{1}{4}$. Vậy $y=\frac{1}{4}x$

$y_2=kx_2=\frac{1}{4}x_2=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$

b.

Vì $x,y$ tỉ lệ nghịch nên đặt $xy=k$.

$x_1y_1=k=x_2y_2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.4=x_2.(-4)$

$\Leftrightarrow x_2=\frac{-1}{2}$

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{49}{16}\)

\(M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}};\dfrac{2}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)\)

Điểm rơi: \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta tách biểu thức được như sau: \(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\)

\(\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}=2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta lại có:

\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\geq 3\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Bạn tham khảo bài này:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-biet-y-ti-le-thuan-voi-x1-x2-la-cac-gia-tri-cua-x-y1y2-la-cac-gia-tri-tuong-uong-cua-y-a-biet-xy-ti-le-thuan-va-x1-2-x2-3-y1-12-tim-y2-b-biet-xy-ti-le-nghich-v.3536605510330