Vì tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

\(\(\Rightarrow MA=MB=MC=\frac{BC}{2}\)\)

=> tam giác MAC cân tại M

=> ^MAC = ^ MCA \(\(=\alpha\)\)

Mà ^AMB là góc ngoài tam giác MAC

\(\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\alpha\)\)

Có \(\(1-cos2\alpha=1-\frac{MH}{MA}=\frac{MA-MH}{MA}=\frac{MB-MH}{MA}=\frac{BH}{BM}\)\)

Lại có :\(\(sin\alpha=\frac{AB}{BC}\)\)

\(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2AB^2}{BC^2}\)\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\(AB^2=BH.BC\)\)

\(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2BH.BC}{BC^2}=\frac{2BH}{BC}\)\)

Mà BC = 2 BM \(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2BH}{2BM}=\frac{BH}{BM}=1-cos2\alpha\)\)

Vậy \(\(1-cos2\alpha=2sin^2\alpha\)\)

a)
^MAC = ^MCA = a ---> ^AMH = ^MAC + ^MCA = 2a
sin2a = sinAMH = AH/MA = 2AH/BC = 2(AH/AC).(AC/BC) = 2 sina.cosa

b)
1+cos2a = 1+cosAMH = 1+MH/MA = (MA+MH)/MA = CH/MA = 2CH/BC =
= 2 (CH/AC).(AC/BC) = 2 cosa.cosa = 2 cos^2 (a)

c)
1-cos2a = 1-cosAMH = 1-MH/MA = (MA-MH)/MA = BH/MA = 2BH/BC =
= 2 (BH/AB).(AB/BC) = 2 sinBAH.sinACB = 2 sin^2 (a)
(^BAH = ^ACB = a vì chúng cùng phụ với góc ABC)

ta có :\(sin^2a+cos^2a=1\)=> \(1-cos^2a=sin^2a\)

ma \(1-cos^2a=2sin^2a\)

<=> \(sin^2a=2sin^2a\)

<=> 1/2  (vô lí)

\(Ta\)\(có\)\(:\)

\(tana\)\(=\frac{HM}{AH}\)

\(\Rightarrow2\)\(tana\)\(=\frac{2HM}{AH}\)\(=\frac{CH-BH}{AH}\)\(=\frac{CH}{AH}\)\(-\frac{BH}{AH}\)

\(\Rightarrow cot\)\(C\)\(-\)\(cot\)\(B\)

\(\Rightarrow\)\(tana\)\(=\frac{cotC-cotB}{2}\)

a: sin a=sin C=AB/BC

cos a=AC/BC=b/a

sin 2a=2sinacosa\(=2\cdot\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2b\cdot AB}{a^2}\)

b: \(sin2a=sin\left(a+a\right)\)

\(=sina\cdot cosa+sina\cdot cosa\)

\(=2\cdot sina\cdot cosa\)