a) (*) m = 0 => x = \(\dfrac{7}{8}\) (loại)

(*) \(m\ne0\) Phương trình có nghiệm

\(\Delta=\left[2\left(m-4\right)\right]^2-4m\left(m+7\right)=-60m+64\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{16}{15}\) 

Hệ thức Viet kết hợp 4x₁ + 3x₂ = 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=\dfrac{m+7}{m}\\x_1+x_2=\dfrac{8-2m}{m}\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=\dfrac{m+7}{m}\\x_1=\dfrac{16-4m}{3m}\\x_2=\dfrac{8-2m}{3m}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16-4m}{3m}.\dfrac{8-2m}{3m}=\dfrac{m+7}{m}\)

\(\Leftrightarrow2\left(8-2m\right)^2=9m\left(m+7\right)\)

\(\Leftrightarrow8m^2-64m+128=9m^2+63m\)

\(\Leftrightarrow m^2+127m-128=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=128\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)<=> m = 1

Đặt: \(f\left(x\right)=\left(m^2-3m-4\right)x^2-2\left(m-4\right)x+3\).

Khi \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=4\end{matrix}\right.\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=10x+3\\f\left(x\right)=-12x+3\end{matrix}\right.\). Dễ thấy \(f\left(x\right)< 0\) luôn có nghiệm.

Khi \(m\notin\left\{-1;4\right\}\)

Để \(f\left(x\right)< 0\) vô nghiệm thì \(f\left(x\right)\ge0\forall x\in R\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m-4\ge0\\\Delta'=\left[-\left(m-4\right)\right]^2-\left(m^2-3m-4\right)\cdot3< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge4\end{matrix}\right.\\-2m^2+m+28< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge4\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{7}{2}\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{7}{2}\\m>4\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(f\left(x\right)< 0\) vô nghiệm khi \(m\in\left(-\infty;-\dfrac{7}{2}\right)\cup\left(4;+\infty\right)\)

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-m\right)^2-3m+2\)

Ta có : \(\left(x-m\right)^2\ge0\)

Để \(f\left(x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

Vậy để \(f\left(x\right)>0\forall x\inℝ\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

P/s : K biết có sai chỗ nào k ạ ? Check hộ e :)

Bài vừa rồi mik làm sai nhé :(( Làm lại :

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-m\right)^2-3m+2\)

Ta thấy : \(\left(x-m\right)^2\ge0\)

Để \(f\left(x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow2>3m\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

Vậy để \(f\left(x\right)>0\forall x\inℝ\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

a.

- Với \(m=-1\) BPT có nghiệm (đúng với mọi x)

- Với \(m\ne-1\) BPT có nghiệm khi:

\(\left[{}\begin{matrix}m+1< 0\\\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+1\right)\left(3m-3\right)>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left(m+1\right)\left(4-2m\right)>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\-1< m< 2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

Kết hợp lại ta được: \(m< 2\)

b.

Do \(a=1>0\) nên BPT có nghiệm với mọi m

c.

- Với \(m=1\) BPT có nghiệm

- Với \(m\ne1\) BPT có nghiệm khi:

\(\left[{}\begin{matrix}m-1< 0\\\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-1\right)\left(3m-6\right)\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\\left\{{}\begin{matrix}m>1\\-2m^2+11m-5\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\dfrac{1}{2}\le m\le5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\1< m\le5\end{matrix}\right.\)

Kết hợp lại ta được: \(m\le5\)

\(f\left(x\right)=\left(3m-4\right)x^2-2\left(m-2\right)x+m-1< 0\)

\(TH1:3m-4=0\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}< 0\Leftrightarrow x< -\dfrac{1}{4}\left(ktm\right)\)

\(TH2:3m-4>0\Leftrightarrow m>\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left(x\right)< 0\forall x>1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x1\le1< x2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)^2-\left(m-1\right)\left(3m-4\right)>0\\\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)\le0\Leftrightarrow x1.x2-\left(x1+x2\right)+1\le0\\\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{3}{2}\\\dfrac{m-1}{3m-4}-\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-4}+1\le0\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le m< \dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le m< \dfrac{4}{3}\left(màm>\dfrac{4}{3}\right)\Rightarrow loại\)

\(TH3:3m-4< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\Leftrightarrow m=0\left(tm\right)\\x=\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-4}=\dfrac{1}{2}\notin\left(1;+\infty\right)\left(tm\right)\end{matrix}\right.\\\Delta'< 0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\x1< x2\le1\left(1\right)\\\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\Leftrightarrow0< m< \dfrac{3}{2}\\\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)\ge0\\x1+x2-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{3}{2}\\\dfrac{m-1}{3m-4}-\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-2}+1\ge0\\\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-4}-2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le0\\0< m\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

1.

\(2\left|x-m\right|+x^2+2>2mx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left|x-m\right|-m^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-m^2+2>0\left(t=\left|x-m\right|\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2< f\left(t\right)=t^2+2t+2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m^2< minf\left(t\right)=2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< m< 2\)

Vậy \(-\sqrt{2}< m< 2\)

2.

\(x^2+2\left|x+m\right|+2mx+3m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+m\right)^2+2\left|x+m\right|+2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x+m\right|+1\right)^2< -2m^2+3m\)

Ta có \(VT=\left(\left|x+m\right|+1\right)^2=\left(-\left|x+m\right|-1\right)^2\le\left(-1\right)^2=1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(VP=-2m^2+3m>1\)

\(\Leftrightarrow2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< m< 1\)

Phương trình có nghiệm là x = 2. Thay x = 2 vào phương trình để tìm m:

\(2^2-2\left(m+4\right)+3m+3=0\)

\(4-2m-8+3m+3=0\)

\(-1+m=0\)

\(m=1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 khi m = 1

Phương trình có nghiệm là x = 2. Thay x = 2 vào phương trình để tìm m:

$2^2-2\left(m+4\right)+3m+3=0$22−2(m+4)+3m+3=0

$4-2m-8+3m+3=0$4−2m−8+3m+3=0

$-1+m=0$−1+m=0

$m=1$m=1

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 khi m = 1

với x=2 ta có:

2²-(m+4)*2+3m+3=0

<=>4-2m+8+3m+3=0

<=>x-1=0

<=>x=1