Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm

Ta có: \(\sqrt{9b\left(4a+b\right)}\)\(\le\) \(\dfrac{9b+4a+5b}{2}\)=\(\dfrac{14b+4a}{2}\)

\(\Rightarrow\) \(a\sqrt{9b\left(4a+5b\right)}\)\(\le\) \(\dfrac{14ab+4a^2}{2}\)=7ab+2a²

^{CMTT: \(b\sqrt{9a\left(4b+5a\right)}\)} \(\le\) 7ab+2b²

^{\(\Rightarrow\)} M\(\le\) 14ab + 2(a²+b²) \(\le\)7(a²+b²) + 2(a²+b²) = 9(a²+b²)=18

Vậy M_min=18

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) a=b=1

\(M=a\sqrt{9b\left(4a+5b\right)}+b\sqrt{9a\left(4b+5a\right)}\le\dfrac{a\left(9b+4a+5b\right)}{2}+\dfrac{b\left(9a+4b+5a\right)}{2}=\dfrac{a\left(14b+4a\right)+b\left(14a+4b\right)}{2}=2a^2+7ab+7ab+2b^2=2\left(a^2+b^2\right)+14ab=4+14ab\le4+14\times\dfrac{a^2+b^2}{2}=4+14=18\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1

Ta có \(2=a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le1\)

\(M\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(36ab+45b^2+36ab+45a^2\right)}\)

\(=\sqrt{2\left(72ab+90\right)}\)\(\le\sqrt{2\left(72+90\right)}=\sqrt{324}=18\)

GTLN là 18 đạt được khi a = b = 1

Áp dụng 2 lần Bunhia

moi hok lop 6

\(P=\frac{3\left(a+b\right)}{\sqrt{9a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{9b\left(4b+5a\right)}}\)

\(\ge\frac{3\left(a+b\right)}{\frac{9a+4a+5b}{2}+\frac{9b+4b+5a}{2}}=\frac{1}{3}\)

Ta có :

  \(P^1=\frac{a+b}{\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}}.\)

\(\Leftrightarrow P^2=\frac{3\left(a+b\right)}{\sqrt{9a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{9b\left(4b+5a\right)}}\)

Mà ta thấy  biểu thức \(P^2\ge\frac{3\left(a+b\right)}{\frac{9a+4a+5b}{2}+\frac{9b+4b+5a}{2}}\)

                                     \(=\frac{1}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{3}\)

     \(\)

Vậy GTNN là 1/3 (khi a = b)

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Áp dụng bđt bunhicopxki ta có:

\(\left(\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}\right)^2\le\left(a+b\right)\left(4a+5b+4b+5a\right)=9\left(a+b\right)^2\)

=> \(\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}\le3\left(a+b\right)\)

=>\(P\ge\frac{a+b}{3\left(a+b\right)}=\frac{1}{3}\)

dấu "=" xảy ra khi a=b