tui lớp lớp 6 not làm được HA HA HA!!!

\(\sqrt{2012a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2+c^2-2bc}{2}}=\sqrt{\frac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\le\sqrt{\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2a+b+c\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{2012b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+2b+c\right)\) ; \(\sqrt{2012c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+2c\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(4a+4b+4c\right)=2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)=2012\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1006;0;0\right)\) và hoán vị

HD giải, Bài này còn một cách khác là xài bunhia ._. cơ mà rối lắm. :)))

Gọi VT là P

Ta có:

\(\sqrt{2012a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2012b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}\le\dfrac{2b+c+a}{\sqrt{2}}\left(2\right)\\\sqrt{2012c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le\dfrac{2c+a+b}{\sqrt{2}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(P\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}+\dfrac{2b+c+a}{\sqrt{2}}+\dfrac{2c+a+b}{\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{4}{\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=2012\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1006,0,0;0,1006,0;0,0,1006\right)\)

ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng

Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.

Ta có:

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)

Suy ra  \(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)

Tương tự, ta áp dụng với hai biến thực dương còn lại, thu được:

\(\hept{\begin{cases}b+2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\\c+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\end{cases}}\)

Khi đó, ta nhân vế theo vế đối với ba đẳng thức trên, nhận thấy:   \(\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow\)  \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)  (do  \(a,b,c>0\)  )

nên   \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ca}+\sqrt{ca}\right)}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

\(\Rightarrow\) \(đpcm\)