1: 

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=mx+2\)(1)

=>\(x^2+mx+2=0\)

\(\text{Δ}=m^2-4\cdot1\cdot2=m^2-8\)

Để (P) cắt (d) tại 1 điểm duy nhất thì phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

=>Δ=0

=>\(m^2-8=0\)

=>\(m^2=8\)

=>\(m=\pm2\sqrt{2}\)

b: Thay x=-2 và y=m vào (P), ta được:

\(m=-\left(-2\right)^2=-4\)

Thay x=1 và y=n vào (d), ta được:

\(m\cdot1+2=n\)

=>-4+2=n

=>n=-2

2:

Gọi chiều dài hình chữ nhật đã cho là x(m)

(Điều kiện: x>2)

Chiều rộng hình chữ nhật đã cho là 0,5x(m)

Chiều dài hình chữ nhật khi giảm đi 2m là x-2(m)

Chiều rộng hình chữ nhật khi giảm đi 2m là 0,5x-2(m)

Diện tích ban đầu là \(0,5x\cdot x=0,5x^2\left(m^2\right)\)

Diện tích lúc sau là: \(\left(x-2\right)\cdot\left(0,5x-2\right)=0,5x^2-3x+4\left(m^2\right)\)

Diện tích lúc sau giảm đi một nửa nên ta có:

\(0,5x^2-3x+4=0,5\cdot0,5x^2=0,25x^2\)

=>\(0,25x^2-3x+4=0\)

=>\(x^2-12x+16=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=6+2\sqrt{5}\left(nhận\right)\\x=6-2\sqrt{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(6+2\sqrt{5}\left(m\right)\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{3}< >-\dfrac{1}{m}\)

=>\(m^2\ne-3\)(luôn đúng)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\3x+my=3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\3x+m\left(mx-2\right)=3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\3x+m^2x-2m=3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x\left(m^2+3\right)=5m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5m}{m^2+3}\\y=m\cdot\dfrac{5m}{m^2+3}-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5m}{m^2+3}\\y=\dfrac{5m^2-2m^2-6}{m^2+3}=\dfrac{3m^2-6}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

\(\left(x+y\right)\cdot\left(m^2+3\right)+8=0\)

=>\(\dfrac{5m+3m^2-6}{m^2+3}\cdot\left(m^2+3\right)+8=0\)

=>\(3m^2+5m-6+8=0\)

=>\(3m^2+5m+2=0\)

=>(m+1)(3m+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Thay x=-1 vào (P), ta được:

\(y=\left(-1\right)^2=1\)

Thay x=2 vào (P), ta được:

\(y=2^2=4\)

vậy: A(-1;1); B(2;4)

Gọi (d): y=ax+b(a\(\ne\)0) là phương trình đường thẳng AB

Thay x=-1 và y=1 vào (d), ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)+b=1\)

=>-a+b=1(1)

Thay x=2 và y=4 vào (d), ta được:

\(2\cdot a+b=4\)

=>2a+b=4(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3a=-3\\-a+b=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=a+1=1+1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: phương trình AB là y=x+2

4: \(x^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0\left(1\right)\)

Thay m=1 vào phương trình (1), ta được:

\(x^2-2\cdot\left(1+1\right)x+1-4=0\)

=>\(x^2-4x-3=0\)

=>\(x^2-4x+4-7=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2=7\)

=>\(x-2=\pm\sqrt{7}\)

=>\(x=2\pm\sqrt{7}\)

5: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì \(1\cdot\left(m-4\right)< 0\)

=>m-4<0

=>m<4

6: \(\text{Δ}=\left(-2m-2\right)^2-4\left(m-4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m+16\)

\(=4m^2+4m+20\)

\(=4m^2+4m+1+19=\left(2m+1\right)^2+19>0\forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lí Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-4\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)}\)

\(=\sqrt{4m^2+8m+4-4m+16}\)

\(=\sqrt{4m^2+4m+1+19}\)

\(=\sqrt{\left(2m+1\right)^2+19}>=\sqrt{19}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi 2m+1=0

=>2m=-1

=>\(m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(A_{min}=\sqrt{19}\) khi \(m=-\dfrac{1}{2}\)

Câu 1:

1:

a: \(\dfrac{1}{2}x-3=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}x=3\)

=>\(x=3:\dfrac{1}{2}=3\cdot2=6\)

b: \(3x^2-12x=0\)

=>\(3x\cdot x-3x\cdot4=0\)

=>\(3x\left(x-4\right)=0\)

=>x(x-4)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

2: 

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=-x+\dfrac{3}{2}\)

=>\(x^2=-2x+3\)

=>\(x^2+2x-3=0\)

=>(x+3)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Khi x=-3 thì \(y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-3\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot9=4,5\)

Khi x=1 thì \(y=\dfrac{1}{2}\cdot1^2=\dfrac{1}{2}\)

b: Gọi (d1): y=ax+b(a<>0) là phương trình đường thẳng cần tìm

Thay x=2 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot2+b=2\)

=>2a+b=2

=>b=2-2a

=>y=ax+2-2a

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=ax+2-2a\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-ax-2+2a=0\)

\(\text{Δ}=\left(-a\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(2a-2\right)\)

\(=a^2-2\left(2a-2\right)=a^2-4a+4=\left(a-2\right)^2\)

Để (P) tiếp xúc với (d1) thì Δ=0

=>a-2=0

=>a=2

=>b=2-2a=2-4=-2

Vậy: Phương trình đường thẳng cần tìm là y=2x-2

Trách nhiệm của công dân học sinh là bảo vệ và tự hoà 

Vệ sinh môi trường đang là một vấn đề rất bức thiết trong cuộc sống chung của chúng ta ngày hôm nay. Với môi trường học đường thì lâu nay sự "ô nhiễm" là có thực nhưng mọi người lại… bỏ quên, và chính học sinh, sinh viên cũng cũng thể hiện ý thức rất kém trong việc giữ gìn vệ sinh nơi trường lớp. Được biết, từ cấp bậc mẫu giáo, tiểu học cho tới đại học, các em học sinh, sinh viên luôn được giáo dục rất kỹ lưỡng về ý thức bảo vệ môi trường sống xanh - sạch đẹp ở mọi nơi, mọi chỗ. Nhưng đáng buồn thay, ở bất cứ trường học nào, những cảnh tượng học sinh, sinh viên không giữ gìn vệ sinh học đường rất phổ biến. Nhiều em vứt giấy, rác vỏ của các bao bì đựng quà vặt, bã kẹo cao su… lung tung nơi sân trường, hành lang lớp và nhiều nữa là nơi ngăn bàn, dưới nền lớp học… Việc làm thiếu ý thức này đã gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến cảnh quan trường học và bầu không khí học tập và giảng dạy, sinh hoạt, vui chơi của thầy cô giáo và của chính các em. Không chỉ vứt rác bừa bãi, nhiều em, nhất là các em ở bạc tiểu học còn vẽ bậy trên bàn học, trên tường… Vì sao lại như thế? Do thói lười biếng, lối sống ích kỷ nghĩ đến quyền lợi cá nhân của một số em. Các em nghĩ rằng, những nơi công cộng như trường học, lớp học không phải nhà mình, vậy thì việc gì mà phải mất công giữ gìn, đã có đội lao công dọn dẹp. Cách suy nghĩ ấu trĩ như vậy thật là thiển cận và nguy hại. Rồi nữa, đó là do thói quen có từ lâu, khó sửa đổi khi ở các lớp học, hàng ngày, mặc dù các thầy cô giáo và ban cán sự lớp phải thường xuyên nhắc nhở nhưng vẫn không thể nào giữ cho lớp học sạch đẹp.

Nãy ghi nhầm =="

a)Hđ gđ là nghiệm pt

`x^2=2x+2m+1`

`<=>x^2-2x-2m-1=0`

Thay `m=1` vào pt ta có:

`x^2-2x-2-1=0`

`<=>x^2-2x-3=0`

`a-b+c=0`

`=>x_1=-1,x_2=3`

`=>y_1=1,y_2=9`

`=>(-1,1),(3,9)`

Vậy tọa độ gđ (d) và (P) là `(-1,1)` và `(3,9)`

b)

Hđ gđ là nghiệm pt

`x^2=2x+2m+1`

`<=>x^2-2x-2m-1=0`

PT có 2 nghiệm pb

`<=>Delta'>0`

`<=>1+2m+1>0`

`<=>2m> -2`

`<=>m> 01`

Áp dụng hệ thức vi-ét:`x_1+x_2=2,x_1.x_2=-2m-1`

Theo `(P):y=x^2=>y_1=x_1^2,y_2=x_2^2`

`=>x_1^2+x_2^2=14`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=14`

`<=>4-2(-2m-1)=14`

`<=>4+2(2m+1)=14`

`<=>2(2m+1)=10`

`<=>2m+1=5`

`<=>2m=4`

`<=>m=2(tm)`

Vậy `m=2` thì ....

\(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x-3\right)-\left(-x^2+2x+c\right)}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-x^2+6x-6-c}{\left(x-3\right)^2}\)

\(\Rightarrow\) Cực đại và cực tiểu của hàm là nghiệm của: \(-x^2+6x-6-c=0\) (1)

\(\Delta'=9-\left(6+c\right)>0\Rightarrow c< 3\)

Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_1^2+6x_1-6=c\\-x_2^2+6x_2-6=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m-M=\dfrac{-x_1^2+2x_1+c}{x_1-3}-\dfrac{-x_2^2+2x_2+c}{x_2-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x_1^2+8x_1-6}{x_1-3}-\dfrac{-2x_2^2+8x_2-6}{x_2-3}=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(1-x_1\right)-2\left(1-x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x_2-x_1=2\)

Kết hợp với Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2-x_1=2\\x_1+x_2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c=2\)

Có 1 giá trị nguyên