\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}=\frac{1}{2}\)

=>\(\frac{x+y}{xy}-\frac{1}{2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{-\left(x-2\right)y-2x}{2xy}=0\)

=>(x-2)y-2x=0

=>x-2=0( vì x-2=0 thì nhân y-2x ms =0 )

=>x=2

=>y-2=0

=>y=2

vậy x=y=2

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

Bạn lưu ý chỉ đăng bài MỘT LẦN thôi chứ không đăng lặp lại gây loãng trang web.

Lời giải:

a. Ta thấy:

$18x-30y=3(6x-10y)$ chia hết cho $3$ với mọi $x,y$ nguyên, mà $59$ không chia hết cho $3$

Do đó pt $18x-30y=59$ vô nghiệm.

b. $22x-5y=77$

$5y=22x-77=11(2x-7)\vdots 11$

$\Rightarrow y\vdots 11$. Đặt $y=11k$ với $k$ nguyên 

$22x-55k=77$

$2x-5k=7$

$2x=5k+7\vdots 2$

$\Rightarrow k$ lẻ. Đặt $k=2t+1$ với $t$ nguyên

$2x=5(2t+1)+7=10t+12$

$x=5t+6$

Vậy $(x,y)=(5t+6, 22t+11)$ với $t$ nguyên 

c.

$12x+19y=94$

$19y=94-12x\vdots 2\Rightarrow y\vdots 2$

Đặt $y=2k$ với $k$ nguyên. Khi đó:

$12x+38k=94$

$6x+19k=47$

$6k=47-19k=19(2-k)+9$

$\Rightarrow 6k-9\vdots 19$

$\Leftrightarrow 2k-3\vdots 19$

$\Leftrightarrow 2k-22\vdots 19$

$\Leftrightarrow k-11\vdots 19$

$\Rightarrow k=19t+11$ với $t$ nguyên

 \(x=\frac{47-19k}{6}=\frac{47-19(19t+11)}{6}=\frac{-162-361t}{6}=-27-\frac{361t}{6}\)

Để $x$ nguyên thì $t\vdots 6$. Khi đó đặt $t=6m$ với  $m$ nguyên 

Khi đó:

$y=2k=2(19t+11)=2(114m+11)=228m+22$

$x=-27-361m$ với $m$ nguyên bất kỳ.

\(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=4\)

\(\Rightarrow x+y+\dfrac{x+y}{xy}=4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=4xy\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\) với \(u;v\in Z\) và \(u^2\ge4v\); \(v\ne0\)

\(\Rightarrow u\left(v+1\right)=4v\)

\(\Rightarrow u=\dfrac{4v}{v+1}=4-\dfrac{4}{v+1}\)

\(\Rightarrow v+1=Ư\left(4\right)\Rightarrow v+1=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow v=\left\{-5;-3;-2;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow u=\left\{5;6;8;2;3\right\}\)

Loại cặp \(\left(u;v\right)=\left(3;3\right)\) không thỏa mãn \(u^2\ge4v\)

Ta được \(\left(u;v\right)=\left(5;-5\right);\left(6;-3\right);\left(8;-2\right);\left(2;1\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=-5\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=-3\end{matrix}\right.\) ko tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=8\\xy=-2\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy pt có đúng 1 cặp nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

Các bn giải theo phương pháp sử dụng đk có nghiệm của phương trình bậc hai giúp mk ạ!

mình có 1 cách khác nữa:
 vì y ∈ Z nên \(\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\) ∈ Z 
=>x²-x+1⋮x²+x+1=> x²+x+1 -2x ⋮x²+x+1
=>2x⋮x²+x+1 (1)
Xét hiệu (x²+x+1)-2x=(x-\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{3}{4}\)>0
=>x²+x+1 > 2x (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với 2x và x²+x+1 ∈ Z 
=> 2x =0 => x =0 => y=1 
Vậy phương trình có nghiệm (x,y) là (0,1)

\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)