max hay min vậy bạn vì nếu min thì ta có a≥0=>a+ab+2abc≥0<=>a=0

ta có 1 lập phương đúng chỉ chia 9 dư 1,-1,0 nên hiệu 2 lập phương đúng chia 9 dư 0,2,7,1,8
mà  hiệu 2 lập phương đúng A = 2m+5n-2n-5m=3(n-m)⋮3 nên A chia 9 dư 0,3,6 
=>A⋮9 =>3(n-m)⋮9=>n-m⋮ 3=>n và m có cùng số dư khi chia cho 3 
=>n³ đồng dư với m³ khi chia cho 27 nên n³-m³ ⋮27
=> n³-m³ ⋮ 9 (đpcm)

A=\(\Sigma\dfrac{x}{\left(x+y+x+z\right)^2}\le\Sigma\dfrac{x}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)=\(\dfrac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)=\(\dfrac{2\left(xy+yz+zx\right)}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
=>A≤\(\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{6\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)(x+y+z=3)
áp dụng bđt \(\dfrac{8}{9}\)(x+y+z)(xy+yz+zx)≤(x+y)(z+x)(z+y)
=>A≤\(\dfrac{\text{(x+y+z)(xy+yz+zx)}}{6.\dfrac{8}{9}\text{(x+y+z)(xy+yz+zx)}}\)=\(\dfrac{3}{16}\left(đpcm\right)\)

9,A=\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)+\(\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\)=\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)+\(\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\)
=>A≥\(\dfrac{7\left(x+y\right)^2}{16xy}+\left(\right)\dfrac{\left(x+y\right)^2}{16xy}\)+\(\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\))
=>A≥\(\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{2}\)=\(\dfrac{9}{4}\)(đpcm)
10,2B=Σ\(\dfrac{2a}{2a+1}\)=>3-2B=Σ\(\left(1-\dfrac{2a}{2a+1}\right)\)=Σ\(\dfrac{1}{2a+1}\)
theo bất đẳng thức C-B-S => 3-2B≥\(\dfrac{9}{2\left(\Sigma a\right)+3}\)=\(\dfrac{9}{6+3}\)=>3-2B≥1
=>-2B≥-2=>2≥2B=>1≥B (đpcm)

áp dụng bất đẳng thức phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)<=>(a-b)²≥0 (luôn đúng)
Ta có P≥\(\dfrac{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=(3+\(\sqrt{2}\))²
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3

1≥a=>a≥a²=>24a+25= 4a+20a+25≥4a²+2.2a.5+25=(2a+5)²
=>\(\sqrt{24a+25}\)≥2a+5
cmtt=> K≥ 2(a+b+c)+15=17
dấu "=" xảy ra  <=> (a,b,c)~(1,0,0)

Cho đa thức P(x) = x² +mx +n, với m,n là các số nguyên. Chứng minh đa thức Q(x)=P(x)-P(2023).P(2024) có nghiệm nguyên.

ta có với p =0 => phương trình <=> 1+2023=1+q²=>q²=2023
=> không tồn tại q tự nhiên 
với p >0 => 5^2p+2010-(5^2p)^p chia hết cho 5 mà 5^2p+2010-(5^2p)^p = q²-3
=> q² -3 chia hết cho 5 => q² chia 5 dư 3 
xét số dư của 1 số chình phương khi chia cho 5:
a =5k => a² = 25k² chia 5 dư 0
a =5k + 1  => a² = 25k² +10k +1 chia 5 dư 1
a = 5k +2 => a² = 25k² +20k + 4 chia 5 dư 4
a= 5k +3 => a²=25k² +30k + 9 chia 5 dư 4
a = 5k +4 => a²=25k² +40k +16 chia 5 dư 1
=> không tồn tại số chính phương chia 5 dư 3 
Vậy pt không tồn tại cặp (p,q) thỏa mãn

x²-6y-y²=20 <=> x²-(y+3)²=11 <=> (x-y-3)(x+y+3)=11 
 

ta có 1/39<1/20;1/21;...;1/38
=> 1/20 + 1/21 + 1/23 + ….. + 1/38 + 1/39 > 1/39+1/39+...1/39 (20 số 1/39 cộng với nhau) 
=>1/20 + 1/21 + 1/23 + ….. + 1/38 + 1/39 > 20/39>1/2