Cho dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{m}=\frac{b}{m+n}=\frac{c}{m+2n}\)Chứng minh rằng: \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a \right)^2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho dãy tỉ số bằng nhau:\(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2005}=\frac{c}{2007}\)
Chứng minh rằng:\(\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
đặt a/2003=b/2005=c/2007=t
=>a=2003t;b=2005t;c=2007t
ta có:\(VT=\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\frac{\left(2003t-2007t\right)^2}{4}=\frac{\left(-4t\right)^2}{4}=\frac{\left(-4\right)^2.t^2}{4}=\frac{16.t^2}{4}=\frac{4.4.t^2}{4}=4t^2\) (1)
\(VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(2003t-2005t\right)\left(2005t-2007t\right)=\left(-2\right).t.\left(-2\right).t=\left[\left(-2\right).\left(-2\right)\right].t^2=4t^2\left(2\right)\)
từ (1);(2) ta có VT=VP=>đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho dãy tỉ số bằng nhau:\(\frac{a}{n+2}=\frac{b}{n+5}=\frac{c}{n+8}\)(với \(n\in N\))
Chứng minh rằng:\(\left(a+c\right)^2=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
\(\frac{a}{n+2}=\frac{b}{n+5}=\frac{c}{n+8}=k\Leftrightarrow a=nk+2k;b=nk=5k;c=nk+8k\)
\(\left(a+c\right)^2=\left(nk+2k+nk+8k\right)^2=4k^2\left(n+5\right)^2\) ( sai nhế)
\(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(nk+2k-nk-5k\right)\left(nk+5k-nk-8k\right)=4\left(-3k\right)\left(-3k\right)=36k^2\)
\(\left(a-c\right)^2=\left(nk+2k-nk-8k\right)^2=4\left(-6k\right)^2=36k^2\)
=> \(\left(a-c\right)^2=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a, b, c là các số thực dương thảo mãn abc=1 chứng minh rằng \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Cho dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{a}{2009}=\frac{b}{2011}=\frac{c}{2013}.CMR:\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\left(a-b\right).\left(b-c\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{2009}=\frac{b}{2011}=\frac{c}{2013}=\frac{a-b}{-2}=\frac{b-c}{-2}=\frac{a-c}{-4}\)
\(=>\frac{\left(a-c\right)^2}{16}=\left(\frac{a-b}{-2}\right).\left(\frac{b-c}{-2}\right)=\frac{\left(a-b\right).\left(b-c\right)}{4}\)
\(=>\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\left(a-b\right).\left(b-c\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{a}{2009}=\frac{b}{2011}=\frac{c}{2013}.CMR:\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\left(a-c\right).\left(b-c\right)\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\(\frac{a}{2009}=\frac{b}{2011}=\frac{a-b}{2009-2011}=\frac{a-b}{-2}\)
\(\frac{b}{2011}=\frac{c}{2013}=\frac{b-c}{2011-2013}=\frac{b-c}{-2}\)
\(\frac{a}{2009}=\frac{c}{2013}=\frac{a-c}{2009-2013}=\frac{a-c}{-4}\)
=> \(\frac{a-b}{-2}=\frac{b-c}{-2}=\frac{a-c}{-4}\)
=> \(\frac{a-b}{-2}.\frac{b-c}{-2}=\left(\frac{a-c}{4}\right)^2\)
=> \(\frac{\left(a-c\right)^2}{4^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{4}\)
=> \(\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : \(\frac{a}{2009}=\frac{b}{2011}=\frac{c}{2013}=\frac{a-b}{-2}=\frac{b-c}{-2}=\frac{a-c}{-4}\)
\(=>\frac{\left(a-c\right)^2}{16}=\left(\frac{a-b}{-2}\right).\left(\frac{b-c}{-2}\right)=\frac{\left(a-b\right).\left(b-c\right)}{4}\)
\(=>\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\left(a-b\right).\left(b-c\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\le\frac{3}{4}\)
bđt trái dấu rồi nha!
\(P=\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
+ Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\cdot\frac{b+1}{8}\cdot\frac{c+1}{8}}=\frac{3}{4}a\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=b+1\\b=c\end{matrix}\right.\)
+ Tương tự ta c/m đc : \(\frac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge\frac{3}{4}b\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=a+1\\a=c\end{matrix}\right.\)
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge\frac{3}{4}c\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow2c=a+1=b+1\)
Do đó : \(P\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\) \(\ge\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho 3 số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\) . Chứng minh rằng \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Lời giải:
Từ \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b-c}=-\left(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(c-a)(a-b)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=-\frac{a^2-ab+bc-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\); \(\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Cộng theo vế những điều vừa thu được ta có:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca+a^2-ab+bc-c^2+ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
Ta có đpcm.
Đúng 1
Bình luận (0)
⇒ab−c=−(bc−a+ca−b)=−ba−b2+c2−ca(c−a)(a−b)⇒ab−c=−(bc−a+ca−b)=−ba−b2+c2−ca(c−a)(a−b)
⇒a(b−c)2=−ba−b2+c2−ca(a−b)(b−c)(c−a)⇒a(b−c)2=−ba−b2+c2−ca(a−b)(b−c)(c−a)
Hoàn toàn tương tự:
b(c−a)2=−a2−ab+bc−c2(a−b)(b−c)(c−a)b(c−a)2=−a2−ab+bc−c2(a−b)(b−c)(c−a); c(a−b)2=−ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)c(a−b)2=−ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)
Cộng theo vế những điều vừa thu được ta có:
a(b−c)2+b(c−a)2+c(a−b)2=−ba−b2+c2−ca+a2−ab+bc−c2+ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)=0
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge1\)
Bạn tham khảo:
Đúng 0
Bình luận (0)
1/ Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn:
\(\left(a^2+b+\frac{3}{4}\right).\left(b^2+a+\frac{3}{4}\right)=\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)
2/ Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình \(a\left(x-a\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\) có nghiệm duy nhất. Chứng minh \(\left|a\right|=\left|b\right|\)
2/ \(a\left(x-a\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)x^2-2\left(a^2+b^2\right)x+a^3+b^3=0\)
Với a = - b thì x = 0
Với a \(\ne\) - b thì ta có
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ta có ĐPCM
Đúng 0
Bình luận (0)