Violympic toán 9

Mai Hương

Nhờ mọi người giải hộ câu 5. cảm ơn ạ!

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 6 2020 lúc 5:55

Theo Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 1, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Rightarrow2ab+2\ge ab+a+b+1=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\frac{1}{\left(\frac{1}{c}+1\right)\left(c+1\right)}=\frac{c}{\left(c+1\right)^2}\)

Mặt khác ta lại có:

\(\left(a+1\right)^2=\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\frac{a}{b}}+1.1\right)^2\le\left(ab+1\right)\left(\frac{a}{b}+1\right)=\frac{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\ge\frac{b}{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\frac{a}{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{\frac{1}{c}+1}=\frac{c}{c+1}\)

Do đó:

\(VT=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(VT\ge\frac{c}{c+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{c}{\left(c+1\right)^2}=\frac{c\left(c+1\right)+1+c}{\left(c+1\right)^2}=\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)^2}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
tthnew

Đáp án đề thi chuyên toán đại học Khoa học Huế.

Không có mô tả.

Mời các bạn truy cập vào link sau đây để có đáp nhé: Cuộc thi Trí tuệ VICE - Bài viết | Facebook

Nếu các bạn muốn ủng hộ VICE, hãy like post và follow fanpage nhé. Cảm ơn tất cả mọi người đã ủng hộ VICE trong thời gian qua.

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN