Qua G kẻ đường thẳng song song AC lần lượt cắt AD, AB, BC tại E, F, N.

$\Rightarrow FN$ là giao tuyến của (GHK) và (ABCD)

Nối EH kéo dài cắt SD tại M $\Rightarrow M$ là giao điểm SD và (NHK)

c/ Gọi P là giao điểm của FN kéo dài và CD

Ta có $AC//EP$ $\Rightarrow \Delta DAC\sim \Delta DEP$, mà BD qua trung điểm của AC $\Rightarrow BD$ qua trung điểm của EP $\Rightarrow G$ là trung điểm EP

$HK//EP\Rightarrow \Delta MEP\sim \Delta MHK$

Mà MG qua trung điểm của EP $\Rightarrow$ MG qua trung điểm của HK hay G,M,E thẳng hàng

a: Xét ΔSAC có

H,K lần lượt là trung điểm của SA,SC

=>HK là đường trung bình

=>HK//AC

Xét (GHK) và (ABCD) có

HK//AC
\(G\in\left(GHK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

Do đó: (GHK) giao (ABCD)=xy, xy đi qua G và xy//HK//AC

b: Chọn mp(SBD) có chứa SD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

BO là trung tuyến của ΔABC

Do đó: B,O,G thẳng hàng

=>G\(\in\)BD

Trong mp(SAC), gọi I là giao điểm của SO với HK

\(I\in SO\subset\left(SBD\right);I\in HK\subset\left(GHK\right)\)

=>\(I\in\left(SBD\right)\cap\left(GHK\right)\)(1)

\(G\in BD\subset\left(SBD\right);G\in\left(GHK\right)\)

=>\(G\in\left(SBD\right)\cap\left(GHK\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(SBD\right)\cap\left(GHK\right)=GI\)

Gọi M là giao điểm của SD với GI

=>M là giao điểm của SD với (SHK)

c: Xét ΔSAC có

O,K lần lượt là trung điểm của CA,CS

=>OK là đường trung bình của ΔSAC

=>OK//SA và OK=SA/2

OK=SA/2

SH=SA/2

Do đó: OK=SH

Xét tứ giác SHOK có

SH//OK

SH=OK

Do đó: SHOK là hình bình hành

=>HK cắt SO tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của HK

nên Elà trung điểm của SO

=>E trùng với I

=>(SBD) giao (GHK)=GE

=>G,E,M thẳng hàng

a) Để tìm giao điểm M của SD và (GHK), ta có thể sử dụng tính chất của đường thẳng và mặt phẳng. Đầu tiên, ta cần tìm phương trình đường thẳng SD và phương trình mặt phẳng GHK. Sau đó, ta giải hệ phương trình để tìm giao điểm M.

b) Để chứng minh G, E, M thẳng hàng, ta có thể sử dụng định lý về trọng tâm của tam giác và tính chất của trung điểm. Chúng ta cần chứng minh rằng G, E, M nằm trên cùng một đường thẳng.

Từ (1) (2) và (3) suy ra ba điểm F, G, H thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD).

Do đó ba điểm F, G, H thẳng hàng và G nằm giữa F và H.

Chọn C. 

a/ Một kinh nghiệm khi đề bài cho dữ kiện về trọng tâm thì vẽ hết 3 đường trung tuyến ra, sẽ rất dễ nhìn

Ta có SG là đường trung tuyến của tam giác SCD, kéo dài SG cắt CD ở K=> \(MG\subset\left(SAK\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\in SA\subset\left(SAK\right)\\A\in AB\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in SK\subset\left(SAK\right)\\K\in CD\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow K=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)=AK\)

\(AK\cap MG=\left\{I\right\}\Rightarrow MG\cap\left(ABCD\right)=\left\{I\right\}\)

b/ \(BN\subset\left(SBD\right)\)

\(\left(SAG\right)\equiv\left(SAK\right)\)

\(AK\cap BD=\left\{H\right\}\Rightarrow H=\left(SBD\right)\cap\left(SAK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAG\right)\cap\left(SAK\right)=SH\)

\(SH\cap BN=\left\{O\right\}\Rightarrow BN\cap\left(SAG\right)=\left\{O\right\}\)

a/ Một kinh nghiệm khi đề bài cho dữ kiện về trọng tâm thì vẽ hết 3 đường trung tuyến ra, sẽ rất dễ nhìn

Ta có SG là đường trung tuyến của tam giác SCD, kéo dài SG cắt CD ở K=> \(MG\subset\left(SAK\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\in SA\subset\left(SAK\right)\\A\in AB\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in SK\subset\left(SAK\right)\\K\in CD\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow K=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)=AK\)

\(AK\cap MG=\left\{I\right\}\Rightarrow MG\cap\left(ABCD\right)=\left\{I\right\}\)

b/ \(BN\subset\left(SBD\right)\)

\(\left(SAG\right)\equiv\left(SAK\right)\)

\(AK\cap BD=\left\{H\right\}\Rightarrow H=\left(SBD\right)\cap\left(SAK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAG\right)\cap\left(SAK\right)=SH\)

\(SH\cap BN=\left\{O\right\}\Rightarrow BN\cap\left(SAG\right)=\left\{O\right\}\)

Qua G kẻ đường thẳng song song AC lần lượt cắt AD, AB, BC tại E, F, N.

\(\Rightarrow FN\) là giao tuyến của (GHK) và (ABCD)

Nối EH kéo dài cắt SD tại M \(\Rightarrow M\) là giao điểm SD và (NHK)

c/ Gọi P là giao điểm của FN kéo dài và CD

Ta có \(AC//EP\) \(\Rightarrow\Delta DAC\sim\Delta DEP\), mà BD qua trung điểm của AC \(\Rightarrow BD\) qua trung điểm của EP \(\Rightarrow G\) là trung điểm EP

\(HK//EP\Rightarrow\Delta MEP\sim\Delta MHK\)

Mà MG qua trung điểm của EP \(\Rightarrow\) MG qua trung điểm của HK hay G,M,E thẳng hàng