Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

A B 2 = B C 2 + A C 2 = 5 a 2 + 12 a 2 = 169 a 2

a) Có AD=BC=5a, AC=12a 
Xét tam giác ABC vuộng tại C=> AB^2 =169a^2 <=> AB= 13a ( đlý Pitago ) 
Xét tam giác ABC vuộng tại C, có: SinABC =12a/13a, CosABC= 5a/13a 
=> ( sin B + cosB )/ (sinB -cosB) = ( 12a/13a + 5a/13a)/(12a/13a - 5a/13a)= 17/7 
b) Trong tam giác ADC, Kẻ AH vuông góc DC 
Trong tam giác ACB, Kẻ CK vuông góc AB 
Có AB//DC ( t/c hình thang) 
mà AD vuông góc DC 
=> AD vuông góc AB (1) 
Tương tự có CK vuông góc DC (2) 
(1)(2) => tứ giác ABCD là hcn ( dhnb hcn) 
=> AD=CK 
Xét tam giác ABC vuông tại C có CK là đường cao AB 
<=> AB.CK= CB.CA 
=> 13a.CK = 5a.12a 
<=> CK= (60/13)a = AH 
Xét tam giác AHC vuông tại H có HC= (144/13)a ( pitago) 
Xét tam giác AHD vuông tại H có HD= (25/13)a ( pitago) 
Mà H nằm giữa DC => DC = HC + HD = 13a 
=> S ABCD= 1/2AH(AB+CD)= 1/2. (60/13)a. (13a +13a)= 60 a^2 (đvdt) 
Chúc bạn học tốt!!!!!!

a) Có AD = BC = 5a, AC = 12a
Xét tam giác ABC vuông tại C ⇒ AB² =169a² ⇔ AB= 13a ( Định lý Pitago )
Xét tam giác ABC vuông tại C, có: \(\sin ABC\) = \(\dfrac{12a}{13a}\), \(\cos ABC\) = \(\dfrac{5a}{13a}\)
=> (\(\dfrac{\sin B+\cos B}{\sin B-\cos B}\)) = ( \(\dfrac{12a}{13a}+\dfrac{5a}{13a}\))/\(\dfrac{12a}{13a}-\dfrac{5a}{13a}\))= \(\dfrac{17}{7}\)
b) Trong tam giác ADC, Kẻ AH vuông góc DC
Trong tam giác ACB, Kẻ CK vuông góc AB
Có: AB//DC ( tính chất hình thang)
Mà: AD vuông góc DC
⇒ AD vuông góc AB (1)
Tương tự có CK vuông góc DC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
⇒ AD = CK
Xét tam giác ABC vuông tại C có CK là đường cao AB
⇔ AB. CK = CB. CA
⇒ 13a. CK = 5a. 12a
⇔ CK= ( \(\dfrac{60}{13}\) )a = AH
Xét tam giác AHC vuông tại H có HC = ( \(\dfrac{144}{13}\) )a ( pitago)
Xét tam giác AHD vuông tại H có HD = ( \(\dfrac{25}{13}\) )a ( pitago)
Mà H nằm giữa DC => DC = HC + HD = 13a
⇒ S_^ABCD =\(\dfrac{1}{2}\)AH ( AB + CD ) = \(\dfrac{1}{2}\). ( \(\dfrac{60}{13}\) )a. (13a +13a ) = 60a²

Vậy diện tích hình thang ABCD là 60a².

a: BC=AD=5a

\(AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=13a\)

b: \(\dfrac{sinB+cosB}{sinB-cosB}=\left(\dfrac{AC}{AB}+\dfrac{BC}{AB}\right):\left(\dfrac{AC}{AB}-\dfrac{BC}{AB}\right)\)

\(=\dfrac{AC+BC}{AC-BC}=\dfrac{12a+5a}{12a-5a}=\dfrac{17}{7}\)

a, \(\Delta ABC\) có \(\widehat{C}=90^o\).

Áp dụng pytago có: \(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{\left(12a\right)^2+\left(5a\right)^2}=13a\)

\(\Delta ABC\) có \(\widehat{C}=90^o\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12a}{13a}=\dfrac{12}{13}\\cosB=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5a}{13a}=\dfrac{5}{13}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{sinB+cosB}{sinB-cosB}=\dfrac{\dfrac{12}{13}+\dfrac{5}{13}}{\dfrac{12}{13}-\dfrac{5}{13}}=\dfrac{\dfrac{17}{13}}{\dfrac{7}{13}}=\dfrac{17}{7}\)

b, Có S_ABCD= \(\dfrac{CH.AB}{2}=\dfrac{CB.AC}{2}\Rightarrow CH.AB=BC.AC\Rightarrow CH=\dfrac{AC.BC}{AB}=\dfrac{12a.5a}{13a}=\dfrac{60a}{13}\approx4,615a\)