Question

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau , đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD=5a, AC =12a

a) tính \(\dfrac{sinB+cosB}{sinB-cosB}\)

b) Tính diện tích hình thang ABCD

Answer 1

a) Có AD = BC = 5a, AC = 12a
Xét tam giác ABC vuông tại C ⇒ AB² =169a² ⇔ AB= 13a ( Định lý Pitago )
Xét tam giác ABC vuông tại C, có: \(\sin ABC\) = \(\dfrac{12a}{13a}\), \(\cos ABC\) = \(\dfrac{5a}{13a}\)
=> (\(\dfrac{\sin B+\cos B}{\sin B-\cos B}\)) = ( \(\dfrac{12a}{13a}+\dfrac{5a}{13a}\))/\(\dfrac{12a}{13a}-\dfrac{5a}{13a}\))= \(\dfrac{17}{7}\)
b) Trong tam giác ADC, Kẻ AH vuông góc DC
Trong tam giác ACB, Kẻ CK vuông góc AB
Có: AB//DC ( tính chất hình thang)
Mà: AD vuông góc DC
⇒ AD vuông góc AB (1)
Tương tự có CK vuông góc DC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
⇒ AD = CK
Xét tam giác ABC vuông tại C có CK là đường cao AB
⇔ AB. CK = CB. CA
⇒ 13a. CK = 5a. 12a
⇔ CK= ( \(\dfrac{60}{13}\) )a = AH
Xét tam giác AHC vuông tại H có HC = ( \(\dfrac{144}{13}\) )a ( pitago)
Xét tam giác AHD vuông tại H có HD = ( \(\dfrac{25}{13}\) )a ( pitago)
Mà H nằm giữa DC => DC = HC + HD = 13a
⇒ S_^ABCD =\(\dfrac{1}{2}\)AH ( AB + CD ) = \(\dfrac{1}{2}\). ( \(\dfrac{60}{13}\) )a. (13a +13a ) = 60a²

Vậy diện tích hình thang ABCD là 60a².