Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ABC}=90^0-37^0=53^0\)

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB=BC/2

Xét ΔMAC có MA=MC

nên ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

\(\widehat{HAB}+\widehat{ABH}=90^0\)(ΔABH vuông tại H)

Do đó: \(\widehat{ACB}=\widehat{HAB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{HAB}\)

c: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{AFE}+\widehat{MAC}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>FE vuông góc AM tại K

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(HA^2=AE\cdot AB\)

=>\(AE\cdot6=4,8^2\)

=>\(AE=3,84\left(cm\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(AF=\dfrac{4.8^2}{8}=2,88\left(cm\right)\)

Xét ΔAEF vuông tại A có AK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)

=>\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{2,88^2}+\dfrac{1}{3.84^2}\)

=>AK=2,304(cm)

`a)` Tỉ số lượng giác góc `B` của \(\Delta ABC\)

\(SinB=\dfrac{AC}{BC}\\ CosB=\dfrac{AB}{BC}\\ TanB=\dfrac{AC}{AB}\\ CotB=\dfrac{AB}{AC}\)

`b)` Tính `BC,AH`

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại `A`, đường cao `AH`

Ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{25}{576}\\ \Rightarrow AH^2=\dfrac{576\cdot1}{25}=23,04\\ \Rightarrow AH=\sqrt{23,04}=4,8cm\)

Ta có: \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow6\cdot8=4,8\cdot BC\\ \Rightarrow48=4,8\cdot BC\\ \Rightarrow BC=\dfrac{48}{4,8}\\ \Rightarrow BC=10cm\)

Vậy: `AH = 4,8cm; BC= 10cm`

`c)` C/m: `AE * AB = AF * AC`

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại `H`, đường cao `HE`

Ta có: \(AH^2=AE\cdot AB\left(htl\right)\)     `(1)`

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại `H`, đường cao `HF`

Ta có: \(AH^2=AF\cdot AC\left(htl\right)\)     `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` \(\Rightarrow AH^2=AH^2\)

\(\Rightarrow AE\cdot AB=AF\cdot AC\left(=AH^2\right).\)

a: \(3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{75}\)

\(=3\cdot2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5\sqrt{3}\)

\(=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5\sqrt{3}=3\sqrt{5}+5\sqrt{3}\)

b: \(\dfrac{\left(\sqrt{50}-2\sqrt{18}+\sqrt{98}\right)}{\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{5\sqrt{2}-2\cdot3\sqrt{2}+7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

=5-6+7

=12-6

=6

Xét ΔMNP vuông tại M có

\(sinN=\dfrac{MP}{NP}\)

\(cosN=\dfrac{MN}{NP}\)

\(tanN=\dfrac{MP}{MN}\)

\(cotN=\dfrac{NM}{MP}\)

Câu 1:

a: \(A=15\sqrt{4a}+\sqrt{a}-\sqrt{25a}\)

\(=15\cdot2\sqrt{a}+\sqrt{a}-5\sqrt{a}\)

\(=30\sqrt{a}-4\sqrt{a}=26\sqrt{a}\)

b: Sửa đề: Khi a=100

Thay a=100 vào A, ta được:

\(A=26\cdot\sqrt{100}=26\cdot10=260\)

a: \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{5\cdot7}}{7}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}\)

b: \(\dfrac{2}{\sqrt{a}-1}=\dfrac{2\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}=\dfrac{2\sqrt{a}+2}{a-1}\)

\(B=sin^2x\cdot tan^2x+2sin^2x-tan^2x+cos^2x\\ =\left(sin^2x\cdot tan^2x-tan^2x\right)+2sin^2x+cos^2x\\ =-tan^2\left(1-sin^2x\right)+2sin^2x+cos^2x\\ =-tan^2\cdot cos^2x+sin^2x+sin^2x+cos^2x\\ =-tan^2x\cdot cos^2x+sin^2x+1\\ =-\dfrac{sin^2x}{cos^2x}\cdot cos^2x+sin^2x+1\\ =-sin^2x+sin^2x+1\\ =1\)

Vậy giá trị của bt không phụ thuộc vào biến 

Gọi độ dài cái thang là BC, khoảng cách từ chân thang đến chân tường là AB

Theo đề, ta có: BC=5m; AB\(\perp\)AC tại A; \(\widehat{B}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosB=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(\dfrac{BA}{5}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>\(BA=\dfrac{5}{2}=2,5\left(m\right)\)

Vậy: Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là 2,5m

a: ĐKXĐ: x-10>=0

=>x>=10

b: \(\sqrt{9a^2b}=\sqrt{\left(3a\right)^2\cdot b}=3a\cdot\sqrt{b}\)

c: \(\left(2\sqrt{3}+1\right)^2=13+4\sqrt{3}\)

\(\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2=8+5+2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}=13+4\sqrt{10}\)

mà \(4\sqrt{3}< 4\sqrt{10}\left(3< 10\right)\)

nên \(\left(2\sqrt{3}+1\right)^2< \left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2\)

=>\(2\sqrt{3}+1< 2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{B}+30^0=90^0\)

=>\(\widehat{B}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{AB}{12}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>AB=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=144-36=108\)

=>\(AC=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)

ABC vuông tại A

⇒ ∠B + ∠C = 90⁰

⇒ ∠B = 90⁰ - ∠C

= 90⁰ - 30⁰

= 60⁰

sinB = AC/BC

⇒ AC = BC . sinB

= 12 . sin60⁰

= 6√3 (cm)

sinC = AB/BC

⇒ AB = BC.sinC

= 12.sin30⁰

= 6 (cm)