a: 

ĐKXĐ: \(q\notin\left\{0;1;-1\right\}\)

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^4-u1=15\\u1\cdot q^3-u1\cdot q=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^4-1}{q^3-q}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2q^4-2=5q^3-5q\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2q^4-5q^3+5q-2=0\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(q-2\right)\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(2q-1\right)=0\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)

TH1: q=2

=>\(u1=\dfrac{15}{2^4-1}=\dfrac{15}{15}=1\)

TH2: q=1/2

=>\(u1=\dfrac{15}{\dfrac{1}{16}-1}=15:\dfrac{-15}{16}=-16\)

b:

 \(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1-u1\cdot q^2+u1\cdot q^4=65\\u1+u1\cdot q^6=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^4-q^2+1}{q^6+1}=\dfrac{1}{5}\\u1\left(1+q^6\right)=325\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{q^2+1}=\dfrac{1}{5}\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q^2=4\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}q\in\left\{2;-2\right\}\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow u1=\dfrac{325}{65}=5\)

c: \(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^3+u1\cdot q^5=-540\\u1\cdot q+u1\cdot q^3=-60\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^5+q^3}{q^3+q}=9\\u1\left(q+q^3\right)=-60\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q^2=9\\u1\left(q+q^3\right)=-60\end{matrix}\right.\)

TH1: q=3

\(u1=-\dfrac{60}{3+3^3}=-\dfrac{60}{30}=-2\)

TH2: q=-3

=>\(u1=-\dfrac{60}{-3-27}=\dfrac{60}{30}=2\)

a: u1-2u4+u6=12 và u2+u5=8

=>u1-2u1-6d+u1+5d=12 và u1+d+u1+4d=8

=>d=12 và 2u1+5d=8

=>d=12 và 2u1=8-5d=8-60=-52

=>u1=-26 và d=12

b: u5-u2=3 và u3*u8=24

=>u1+4d-u1-d=3 và (u1+2d)(u1+7d)=24

=>d=1 và (u1+2)(u1+7)=24

=>d=1 và u1^2+9u1-10=0

=>d=1 và (u1=-10 hoặc u1=1)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_5=96\\u_7=384\end{matrix}\right.\)

\(u^2_6=u_5.u_7=96.384=36864\)

\(\Leftrightarrow u_6=192\)

\(q=\dfrac{u_7}{u_6}=\dfrac{384}{192}=2\)

\(u_5=u_1.q^4\)

\(\Leftrightarrow u_1=\dfrac{u_5}{q^4}=\dfrac{96}{2^4}=6\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=25\\u_3-u_1=50\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1.q^3-u_1.q=25\\u_1.q^2-u_1=50\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1.q\left(q^2-1\right)=25\left(1\right)\\u_1.\left(q^2-1\right)=50\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right):\left(2\right)\Leftrightarrow q=\dfrac{25}{50}=\dfrac{1}{2}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow u_1=\dfrac{50}{q^2-1}=\dfrac{50}{\dfrac{1}{4}-1}=-\dfrac{200}{3}\)

a: \(\left\{{}\begin{matrix}u5-u1=15\\u4-u1=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^4-u1=15\\u1\cdot q^3-u1=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u1\left(q^4-1\right)=15\\u1\left(q^3-1\right)=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{q^4-1}{q^3-1}=\dfrac{5}{2}\)

=>\(2\left(q^4-1\right)=5\left(q^3-1\right)\)

=>\(2q^4-2-5q^3+5=0\)

=>\(2q^4-5q^3+3=0\)

=>\(2q^4-2q^3-3q^3+3=0\)

=>\(2q^3\left(q-1\right)-3\left(q-1\right)\left(q^2+q+1\right)=0\)

=>\(\left(q-1\right)\left(2q^3-3q^2-3q-3\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}q=1\\q\simeq2,39\end{matrix}\right.\)

=>\(u1=\dfrac{6}{q^3-1}\simeq\dfrac{6}{2.39^3-1}\simeq0,47\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}u1-u3+u5=65\\u1+u7=325\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u1-u1\cdot q^2+u1\cdot q^4=65\\u1+u1\cdot q^6=325\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot\left(1-q^2+q^4\right)=65\\u1\left(1+q^6\right)=325\end{matrix}\right.\)

=>\(\dfrac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\dfrac{65}{325}=\dfrac{1}{5}\)

=>\(\dfrac{1}{q^2+1}=\dfrac{1}{5}\)

=>\(q^2+1=5\)

=>q^2=4

=>q=2 hoặc q=-2

TH1: q=2

=>\(u1=\dfrac{325}{q^6+1}=5\)

TH2: q=-2

=>\(u1=\dfrac{325}{\left(-2\right)^6+1}=5\)

a) Từ hệ thức đã cho ta có:

hay

.Giải hệ này tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 16, d = -3.

b) Từ hệ đã cho ta có:

hay

Giải hệ này để tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2

u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2.

Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là: 1u_1 và d.
Ta có:
154111\left\{{}\begin{matrix}u_1+2u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2.\left(u_1+4d\right)=0\\\dfrac{\left[2u_1+3d\right].4}{2}=14\end{matrix}\right.11\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u_1+8d=0\\2u_1+3d=7\end{matrix}\right.1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=8\\d=-3\end{matrix}\right..

b) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng làn lượt là \(u_1\) d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+3d=10\\u_1+6d=19\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\).
c) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=36\\d=-13\end{matrix}\right.\).
d) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+6d-\left(u_1+2d\right)=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u^2_1+14u_1-51=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=\\\left[{}\begin{matrix}u_1=3\\u_1=-17\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn là: \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=3\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=-17\end{matrix}\right.\).

a/ \(u_6=u_1+5d=8\Rightarrow u_1=8-5d\)

\(u_2=u_1+d;u_4=u_1+3d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_2=8-5d+d=8-4d\\u_4=8-5d+3d=8-2d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(8-4d\right)^2+\left(8-2d\right)^2=16\Rightarrow...\)

b/ Câu này làm theo ý hiểu thôi, ko chắc đâu

\(Xet-S_n:\)

\(u_1=u_1\)

\(u_2=u_1+d\)

\(u_3=u_1+2d\)

......

\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\)

\(\Rightarrow S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+u_1+d+...+u_1+\left(n-1\right)d=n.u_1+d+2d+....+\left(n-1\right)d\)

\(=n.u_1+\left(1+2+...+\left(n-1\right)\right)d=n.u_1+\dfrac{d\left(n-1\right).n}{2}=\dfrac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}\)

Tương tụ với S(2n)

\(S_{2n}=u_1+u_2+...+u_{2n}=u_1+u_1+d+....+u_1+\left(2n-1\right)d\)

\(=2n.u_1+d+2d+...+\left(2n-1\right)d=2n.u_1+\left(1+2+...+\left(2n-1\right)\right)d=2n.u_1+d.n\left(2n-2\right)=2n\left(u_1+\left(n-1\right).d\right)\)

\(4S_n=S_{2n}\Leftrightarrow4.\dfrac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}=2n\left(u_1+\left(n-1\right).d\right)\)

\(\Leftrightarrow2n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]=2n\left[u_1+\left(n-1\right)d\right]\)\(\Leftrightarrow2u_1=u_1\Rightarrow u_1=0\)

\(u_5=u_1+4d=18\Rightarrow d=\dfrac{18}{4}=4,5\)

Ok check lại số má hộ tui nhó

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+\left(u_1+4d\right)-\left(u_1+2d\right)=10\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=36\\d=-13\end{matrix}\right.\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+3d=5\\u_1^2+\left(u_1+4d\right)^2=25\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=5-2u_1\\u_1^2+\left(u_1+4d\right)^2=25\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_1^2+\left(u_1+5-2u_1\right)^2=25\)

\(\Rightarrow u_1^2+u_1^2-10u_1+25=25\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}u_1=0\Rightarrow d=\dfrac{5}{4}\\u_1=5\Rightarrow d=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_2-u_3+u_5=10\\u_4+u_6=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d-u_1-2d+u_1+4d=10\\u_1+3d+u_1+5d=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+3d=10\\2u_1+8d=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\)

b)\(\left\{{}\begin{matrix}u_2-u_6+u_4=-7\\u_8-2u_7=2u_4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d-u_1-5d+u_1+3d=-7\\u_1+7d-2\left(u_1+6d\right)=2\left(u_1+3d\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1-d=-7\\-3u_1-11d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{-11}{2}\\d=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

c)\(\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+6d-u_1-2d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1^2+14u_1+24=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left[{}\begin{matrix}u_1=3\\u_1=-17\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)