1.

a, Phương trình có nghiệm khi: 

\(\left(m+2\right)^2+m^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow2m^2+4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

b, Phương trình có nghiệm khi:

\(m^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2m^2+6m\le0\)

\(\Leftrightarrow-3\le m\le0\)

2.

a, Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(2m-1\right)^2+\left(m-1\right)^2< \left(m-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+m^2-2m+1< m^2-6m+9\)

\(\Leftrightarrow4m^2-7< 0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

b, \(2sinx+cosx=m\left(sinx-2cosx+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)sinx-\left(2m+1\right)cosx=-3m\)

 Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(m-2\right)^2+\left(2m+1\right)^2< 9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+4m^2+4m+1< 9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-1>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

1.

c, \(\left(m+2\right)sin2x+mcos^2x=m-2+msin^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)sin2x+m\left(cos^2x-sin^2x\right)=m-2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)sin2x+mcos2x=m-2\)

Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(m+2\right)^2+m^2< \left(m-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2< m^2-4m+4\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m< 0\)

\(\Leftrightarrow-8\le m\le0\)

1.

Bạn xem lại đề, \(sin^2x\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) là sao nhỉ?Có cả x trong lẫn ngoài ngoặc?

2.

ĐKXĐ: \(sinx\ne0\)

\(\left(2sinx-cosx\right)\left(1+cosx\right)=sin^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-cosx\right)\left(1+cosx\right)=1-cos^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-cosx\right)\left(1+cosx\right)-\left(1+cosx\right)\left(1-cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+cosx\right)\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

3.

Theo điều kiện của pt lượng giác bậc nhất:

\(m^2+\left(3m+1\right)^2\ge\left(1-2m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow10m^2+6m+1\ge4m^2-4m+1\)

\(\Leftrightarrow3m^2+5m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

4.

\(\Leftrightarrow1-sin^2x-\left(m^2-3\right)sinx+2m^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow-sin^2x-m^2sinx+2m^2+3sinx-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-sin^2x+3sinx-2\right)+m^2\left(2-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-1\right)\left(2-sinx\right)+m^2\left(2-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-sinx\right)\left(sinx-1+m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx=1-m^2\)

\(\Rightarrow-1\le1-m^2\le1\)

\(\Rightarrow m^2\le2\Rightarrow-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

\(sinx-cosx=msinx+mcosx+m\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)sinx+\left(m+1\right)cosx=-m\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2\ge\left(-m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy pt có nghiệm với mọi m

\(M=sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx+cos^2x-sin^2x\)

\(=\left(sinx+cosx\right)^2+\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)\)

\(=\left(sinx+cosx\right)\left(sinx+cosx+cosx-sinx\right)\)

\(=2cosx\left(sinx+cosx\right)\)

\(=2\sqrt{2}cosx.cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

a/

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}>1\)

Pt vô nghiệm

b/

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{13}}sinx+\frac{3}{\sqrt{13}}cosx=\frac{2}{\sqrt{13}}\)

Đặt \(\frac{2}{\sqrt{13}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\pi\right)\)

\(\Rightarrow sinx.cosa+cosx.sina=cosa\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+a\right)=sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+a=\frac{\pi}{2}-a+k2\pi\\x+a=\frac{\pi}{2}+a+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}-2a+k2\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

c/

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}-x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{7\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

2.

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất với sin và cos:

\(m^2+\left(m-1\right)^2\ge5\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)

\(\frac{sinx+\left(cosx-1\right)}{1-cosx}=\frac{2cosx}{sinx-\left(cosx-1\right)}\Rightarrow sin^2x-\left(cosx-1\right)^2=2cosx-2cos^2x\)

\(\Rightarrow sin^2x-cos^2x+2cosx-1=2cosx-2cos^2x\Rightarrow sin^2x+cos^2x-1=0\)

=>1-1=0 luôn đúng =>dpcm