a: góc BIM=góc BHM=90 độ

=>BMHI nội tiếp

b: góc CBM=góc MAC=góc MAK

=>góc MAK=góc MIK

a. Em tự giải

b.

Do tứ giác BDHM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{HBM}\) (cùng chắn cung HM)

Do tứ giác ABDE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{ADE}\) (cùng chắn cung AE)

\(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{ADE}\)

\(\Rightarrow DH\) là phân giác trong góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK

Lại có \(DH\perp DB\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow DB\) là phân giác ngoài góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{EH}{HK}=\dfrac{EB}{BK}=\dfrac{ED}{DK}\) \(\Rightarrow BK.HE=BE.HK\)

c.

Hai điểm D và E cùng nhìn CH dưới 1 góc vuông nên tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH

\(\Rightarrow I\) là trung điểm CH

Trong tam giác ABC, do hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H \(\Rightarrow H\) là trực tâm

\(\Rightarrow CH\perp AB\) hay C;H;M thẳng hàng

Ta có \(IC=IE\) (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp CDE) \(\Rightarrow\Delta CIE\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{CEI}\)

Lại có \(OB=OE=R\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OEB}\)

Mà \(\widehat{OBE}=\widehat{ECI}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow\widehat{CEI}=\widehat{OEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CEI}+\widehat{IEB}=\widehat{OEB}+\widehat{IEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{OEI}\)

\(\Rightarrow\widehat{OEI}=90^{ }\)

Hay \(OE\perp IE\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

AC=AD

OC=OD

=>AO là trung trực của CD

=>OA vuông góc CD tại I

góc AMB=1/2*180=90 độ

góc KMB+góc KIB=180 độ

=>KMBI nội tiếp

a: góc AMB=góc ACB=90 độ

=>BM vuông góc DA và AC vuông góc DB

góc DMH+góc DCH=90+90=180 độ

=>DMHC nội tiếp

Xét ΔHMA vuông tại M và ΔHCB vuông tại C có

góc MHA=góc CHB

=>ΔHMA đồng dạng với ΔHCB

=>HM/HC=HA/HB

=>HM*HB=HA*HC

b: góc DBM=góc CBM=1/2*sđ cung CM

góc MBA=1/2*sđ cung MA

mà sđ cung CM=sđ cung MA

nên góc DBM=góc ABM

=>BM là phân giác của góc DBA

Xét ΔBDA có

BM vừa là đường cao, vừa là phân giác

=>ΔBDA cân tại B

d: Xét ΔMAK vuông tại M và ΔMDH vuông tại M có

MA=MD

góc MAK=góc MDH

=>ΔMAK=ΔMDH

=>MK=MH

Xét tứ giác AKDH có

M là trung điểm chung của AD và KH

AD vuông góc KH

=>AKDH là hình thoi

1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\)

\(\Rightarrow\angle EHB+\angle EMB=90+90=180\Rightarrow EMBH\); nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\)

\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C có \(CH\bot AB\Rightarrow AC^2=AH.AB\) (hệ thức lượng)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta ABM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHE=\angle AMB=90\\\angle MABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta ABM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AH}{AM}\Rightarrow AE.AM=AH.AB\)

\(\Rightarrow AE.AM=AC^2\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AMC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\\\angle MACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta AMC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow AE.CM=AC.EC\)

a) Do AMNP là hình vuông nên \(\widehat{QMB}=45^o\)

Lại có do C là điểm chính giữa của nửa đường tròn nên \(\widebat{CB}=90^o\Rightarrow\widehat{CMB}=45^o\)

(Góc nội tiếp)

Vậy thì \(\widehat{CMQ}=\widehat{CMB}+\widehat{BMQ}=45^o+45^o=90^o\)

Vậy CQ là đường kính hay C và Q đối xứng nhau qua O.

b) Ta thấyAMNP là hình vuông.  MI là phân giác góc \(\widehat{AMB}\)  nên \(\Delta MAI=\Delta MNI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MNI}\)

Lại có \(\widehat{MAI}=\widehat{IAM}\) nên \(\widehat{MNI}=\widehat{IAM}\)

Xét tứ giác AINB có  \(\widehat{MNI}=\widehat{IAM}\) nên AINB là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại đỉnh bằng góc đối diện)