Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB với AC < BC và đường cao CH. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM.

            1) Chứng minh tứ giác EHBM là tứ giác nội tiếp

            2) Chứng minh AC² = AH. AB và AC. EC = AE. CM

Answer 1

1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\)

\(\Rightarrow\angle EHB+\angle EMB=90+90=180\Rightarrow EMBH\); nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\)

\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C có \(CH\bot AB\Rightarrow AC^2=AH.AB\) (hệ thức lượng)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta ABM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHE=\angle AMB=90\\\angle MABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta ABM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AH}{AM}\Rightarrow AE.AM=AH.AB\)

\(\Rightarrow AE.AM=AC^2\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AMC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\\\angle MACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta AMC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow AE.CM=AC.EC\)